Matematyczny platonizm: czy matematyka została znaleziona czy stworzona?

Matematyczny platonizm to pogląd, który utrzymuje, że obiekty matematyczne istnieją niezależnie od nas i od tego, co robimy; jak myślimy, jak mówimy, jak się zachowujemy. Jest to jedna z najstarszych i najbardziej wpływowych prób wyjaśnienia metafizyki matematyki.

W tym artykule podano i wyjaśniono podstawową definicję platonizmu matematycznego. Przyjrzymy się platonizmowi – nie tylko w odniesieniu do matematyki, ale w ogóle – a związek między platonizmem a dziełem Platona zostanie wyjaśniony. Następnie przyjrzymy się argumentowi Fregego na rzecz matematycznego platonizmu, który powszechnie uważa się za najbardziej wpływowy. Na koniec rozważymy również kilka zarzutów wobec matematycznego platonizmu.

Podstawowe twierdzenie matematycznego platonizmu

Matematyczny platonizm utrzymuje, że obiekty matematyczne istnieją niezależnie od ludzkiej działalności, myśli i języka. Dlatego możemy powiedzieć, że jest to pogląd, że obiekty matematyczne są odkrywane lub znajdowane, a nie konstruowane lub wytwarzane przez ludzi.

Warto wyjaśnić, że „obiekt matematyczny” nie odnosi się do niczego technicznego ani skomplikowanego; odnosi się do wszystkiego, co można zdefiniować w kategoriach matematycznych. To brzmi jak dość prosty pogląd, ale jest to zwodnicze. Po pierwsze, to, czym jest odkrywanie czegoś, a nie tworzenie tego, jest dalekie od prostoty.

Może nie być ścisłego rozróżnienia między odkrywaniem czegoś a tworzeniem tego samemu. Jest to szczególnie prawdziwe, gdy mamy do czynienia z przedmiotami pojęciowymi, takimi jak te, którymi zajmują się głównie matematycy. Zazwyczaj jesteśmy pewni jedynie stwierdzenia, że ​​obiekt fizyczny istniałby bez interwencji człowieka (chociaż nawet to jest wysoce kontrowersyjne).

Metafizyka matematyki

Matematyczny platonizm komplikuje również fakt, że jest doktryną metafizyczną. To, co dokładnie liczy się jako metafizyka, jest z pewnością kontrowersyjne, ale ogólnie rzecz biorąc, metafizyka dotyczy raczej tego, jak rzeczy naprawdę się mają, niż na przykład warunków poznania; byłoby to przedmiotem zainteresowania epistemologii.

Tak więc matematyczny platonizm rzekomo zajmuje się tym, czym naprawdę są obiekty matematyczne, a nie tym, jak je poznajemy. Wydaje się jednak dziwne oddzielenie pytania o to, czym są obiekty matematyczne, od tego, jak je znamy, dlatego historycznie metafizyczny pogląd wyrażony przez matematyczny platonizm był powiązany z twierdzeniami o bezpośredniej lub bezpośredniej wiedzy o przedmiotach matematycznych.

To nie jest jedyne epistemologiczny ruch dostępny; WVO Quine, jeden z najbardziej wpływowych filozofów analitycznych XX wieku i zagorzały platonista matematyczny, miał empiryczny pogląd na matematykę, co oznaczało, że nasza wiedza o niej jest gromadzona poprzez doświadczenie, a nie bezpośrednio. Oczywiście każde pełne wyjaśnienie tego, co robimy, gdy zajmujemy się matematyką, będzie musiało wyjść poza czysto metafizyczny pogląd, ale nie ma tu na to miejsca.

Konsekwencje matematycznego platonizmu

Istnieje szereg konsekwencji przyjęcia matematycznego platonizmu, o których należy pamiętać, ale najważniejsze z nich to implikacje dla fizykalistycznego poglądu na świat. Fizykalizm, w swojej najbardziej podstawowej formie, utrzymuje, że świat można wyjaśnić wyłącznie w kategoriach fizycznych faktów na jego temat. Matematyczny platonizm to pogląd, że obiekty matematyczne są rzeczywiste, a biorąc pod uwagę, że obiekty matematyczne są raczej konceptualne niż fizyczne, wydaje się, że sugeruje to, że fakty niefizyczne są częścią pełnego wyjaśnienia rzeczywistości.

Matematyczny Platonizm jest szczególnie potężny, ponieważ matematyka ma silne pretensje do bycia najbardziej spójną, najbardziej naukową i najbezpieczniejszą dziedziną produkcji wiedzy. Na koniec warto wyjaśnić, że chociaż platonizm matematyczny nosi jego imię, nie ma wiele wspólnego z tym, co Platon rzeczywiście powiedział i myślał o matematyce. Raczej, „Platonizm” – co może odnosić się do rzeczy innych niż matematyka – to po prostu pogląd, że pewna rzecz istnieje niezależnie od nas. Danie był „platonikiem” w tym sensie, ale „platonizm” stosuje się w sposób i do rzeczy, których sam Platon niekoniecznie by tak zrobił.

Argument Frege'a za matematycznym platonizmem

Być może najczęściej dyskutowany argument przemawiający za platonizmem matematycznym nie pochodzi od samego Platona, ale od Dzięki Bogu Frege . Frege pozostaje jednym z nich najbardziej wpływowych matematyków, logików i filozofów współczesnego języka , a jego teoria matematycznego platonizmu jest podobnie wpływowa.

Argument Frege'a opiera się na dwóch przesłankach. Po pierwsze, obrona tego, co jest znane jako „semantyka klasyczna”, a mianowicie, że „pojedyncze terminy języka matematyki rzekomo odnoszą się do przedmiotów matematycznych, a jego kwantyfikatory pierwszego rzędu rzekomo obejmują takie przedmioty”. Po drugie, twierdzenie o prawdziwości matematyki: „Większość zdań przyjętych jako twierdzenia matematyczne jest prawdziwa (niezależnie od ich struktury składniowej i semantycznej)”.

Pierwsze twierdzenie wymaga praktycznego zrozumienia, co matematyka faktycznie tak jest, co wyraźnie posiadał Frege, i sprowadza się do twierdzenia, że ​​języki matematyki są naprawdę językami, a składniki tych języków mają mniej więcej taki sam sens jak języki naturalne.

Na razie wszystko, co można powiedzieć na obronę tego twierdzenia, to fakt, że wielu matematyków uważa ten pogląd na matematykę za wiarygodny; narysowanie tego podobnie między językami matematycznymi i językami naturalnymi (czyli językami, którymi normalnie mówimy, jak angielski czy włoski) nie było tylko dziwactwem Frege'a. Istnieje oczywiście szereg argumentów przemawiających za drugą przesłanką, ale dla naszych celów ją przyjmiemy; większość filozofów tak robi, chociaż nie zgadzają się co do tego, dlaczego.

Zaangażowanie ontologiczne

The fregowski zwykle rozumie się, że argument przechodzi od tych dwóch przesłanek do prawdy matematycznego platonizmu poprzez koncepcję zwaną „zaangażowaniem ontologicznym”. Istnieje wiele sposobów rozumienia „Zaangażowania ontologicznego”, ale sedno sprawy polega na tym, że zdanie jest ontologicznie przypisane do tych obiektów, które należy założyć, aby zdanie było prawdziwe.

Kiedy twierdzimy, że zdania matematyczne są w ten sposób przypisane do niezależnie istniejących obiektów matematycznych, wydaje się, że mamy wybór. Albo zaprzeczamy przesłance o prawdziwości zdań matematycznych (czego chce niewielu filozofów), albo akceptujemy istnienie obiektów matematycznych, a tym samym prawdziwość matematycznego platonizmu.

Niezależność matematyki

Nie poruszyliśmy jeszcze kwestii, co by oznaczało, że obiekty matematyczne są niezależne. Filozofowie powszechnie rozumieją to twierdzenie w sposób kontrfaktyczny; to znaczy, rozumieją to, zadając pytanie, co zmieniłoby się w matematyce, gdyby inteligentne stworzenia nigdy nie istniały.

Nietrudno zrozumieć, dlaczego postawione w ten kontrfaktyczny sposób trudno zaprzeczyć warunku niezależności. Po pierwsze, istnieje podstawowa nieprawdopodobność poglądu, że prawdy matematyczne byłyby zupełnie inne, gdyby istoty ludzkie nie rozwinęły inteligencji wymaganej do ich rozpoznania. Podobnie matematycy często rozumują w kierunku hipotetycznego (to znaczy nierzeczywistego). E.N Zalta przedstawia tę kwestię w następujący sposób: „Skoro do prawd czystej matematyki można swobodnie odwoływać się w całym naszym kontrfaktycznym rozumowaniu, wynika z tego, że prawdy te są kontrfaktycznie niezależne od nas, ludzi i wszystkich innych inteligentnych form życia, jeśli o to chodzi”.

Zarzuty wobec matematycznego platonizmu

Jak to zostało przedstawione do tej pory, Platonizm Matematyczny może wydawać się dość intuicyjny. Nie-matematykowi pomysł, że przedmioty matematyczne przestałyby istnieć, gdyby istoty ludzkie nigdy nie istniały, wydaje się dziwny. Istnieje jednak wiele zarzutów wobec matematycznego platonizmu, z których niektóre są jedynie próbami złagodzenia go, a niektóre stanowią całkowite odrzucenie.

Niektóre z tych zastrzeżeń są dość techniczne i służą do komplikowania problemów przedstawionych przez matematyczny platonizm dla nie-matematyków. Jednak jeden zarzut dotyczy kwestii na wskroś filozoficznej, która została poruszona na początku tego artykułu: problemu epistemologii i jej stosunku do metafizyki. Powstaje pytanie: jak możemy poznać obiekty matematyczne?

Jeden taki sprzeciw pochodzi od Paula Benacerrafa. Krótka wersja tego sprzeciwu jest następująca. Jeśli wnioski wyciągnięte przez matematyków są wiarygodne, a zatem powinniśmy być w stanie wyjaśnić tę wiarygodność, matematyczny platonizm nie może się utrzymać.

Ta ostatnia przesłanka wydaje się pojawiać znikąd, ale zwykle przypisuje się ją faktowi, że platonizm matematyczny zakłada, że ​​byty matematyczne istnieją poza przestrzenią i czasem, a zatem powinny być od nas przyczynowo odizolowane. Nie jest jednak jasne, czy niezawodność musi być definiowana w sposób przyczynowy. W jakim sensie uznamy wyniki matematyków za wiarygodne, będzie to zależało od naszej definicji tego, co według nas matematyków ma robić w pierwszej kolejności. Nasza definicja niezawodności powinna wynikać z naszej definicji matematyki, a nie odwrotnie.