Teoria mnogości

Zdarzenia A i B wzajemnie się wykluczają. C.K.Taylor

Teoria mnogości jest podstawowym pojęciem w całej matematyce. Ta gałąź matematyki stanowi podstawę dla innych tematów.

Intuicyjnie zbiór to zbiór obiektów, które nazywamy elementami. Chociaż wydaje się to prostym pomysłem, ma pewne dalekosiężne konsekwencje.

Elementy

Elementy zestawu mogą być naprawdę wszystkim – liczby, stany, samochody, ludzie, a nawet inne zestawy to wszystkie możliwości elementów. Prawie wszystko, co można zebrać razem, można wykorzystać do stworzenia zestawu, chociaż są pewne rzeczy, na które musimy uważać.

Równe zestawy

Elementy zestawu są albo w zestawie, albo nie w zestawie. Możemy opisać zbiór za pomocą właściwości definiującej lub możemy wymienić elementy w zbiorze. Kolejność, w jakiej są wymienione, nie jest ważna. Zatem zbiory {1, 2, 3} i {1, 3, 2} są równymi zbiorami, ponieważ oba zawierają te same elementy.

Dwa zestawy specjalne

Na szczególną uwagę zasługują dwa zestawy. Pierwszy to zestaw uniwersalny, zwykle oznaczany W . Ten zestaw to wszystkie elementy, z których możemy wybierać. Ten zestaw może się różnić w zależności od ustawienia. Na przykład jeden uniwersalny zbiór może być zbiorem liczby rzeczywiste natomiast dla innego problemu zbiorem uniwersalnym mogą być liczby całkowite {0, 1, 2,...}.

Drugi zestaw, który wymaga uwagi, to pusty zestaw . Pusty zbiór to unikalny zbiór to zbiór bez elementów. Możemy zapisać to jako { } i oznaczyć ten zbiór symbolem ∅.

Podzbiory i zestaw mocy

Zbiór niektórych elementów zestawu A nazywa się podzbiór z A . Mówimy, że A jest podzbiorem B wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element A jest również elementem B . Jeśli istnieje skończona liczba n elementów w zestawie, to w sumie jest 2 ⁿ podzbiory A . Ta kolekcja wszystkich podzbiorów A to zestaw, który nazywa się zestaw zasilający z A .

Ustaw operacje

Tak jak możemy wykonać takie operacje jak dodawanie - na dwóch liczbach w celu uzyskania nowej liczby, operacje na teorii mnogości służą do utworzenia zbioru z dwóch innych zbiorów. Istnieje wiele operacji, ale prawie wszystkie składają się z następujących trzech operacji:

• Unia – Związek oznacza zjednoczenie. Związek zbiorów A oraz B składa się z elementów, które są w obu A lub B .
• Skrzyżowanie - Na skrzyżowaniu spotykają się dwie rzeczy. Przecięcie zbiorów A oraz B składa się z elementów, które w obu A oraz B .
• Komplement - Uzupełnienie zestawu A składa się ze wszystkich elementów w zbiorze uniwersalnym, które nie są elementami A .

Diagramy Venna

Jednym z narzędzi, które jest pomocne w przedstawianiu relacji między różnymi zestawami, jest diagram Venna. Prostokąt reprezentuje uniwersalny zestaw dla naszego problemu. Każdy zestaw jest reprezentowany przez okrąg. Jeśli okręgi nakładają się na siebie, ilustruje to przecięcie naszych dwóch zestawów.

Zastosowania teorii mnogości

Teoria mnogości jest używana w całej matematyce. Jest używany jako podstawa wielu poddziedzin matematyki. W obszarach związanych ze statystyką jest szczególnie wykorzystywana w prawdopodobieństwie. Wiele pojęć dotyczących prawdopodobieństwa wywodzi się z konsekwencji teorii mnogości. Rzeczywiście, jednym ze sposobów na określenie aksjomaty prawdopodobieństwa obejmuje teorię mnogości.