Definicja i użycie unii w matematyce
Jedną z operacji, która jest często używana do tworzenia nowych zestawów ze starych, jest łączenie. W powszechnym użyciu słowo związek oznacza zjednoczenie, takie jak związki w zorganizowanej pracy lub Stan Unii adres, który Stany Zjednoczone Prezydent składa przed wspólną sesją Kongresu. W sensie matematycznym połączenie dwóch zbiorów zachowuje ideę łączenia. Dokładniej, połączenie dwóch zestawów A oraz B jest zbiorem wszystkich elementów x takie, że x jest elementem zestawu A lub x jest elementem zestawu B . Słowo, które oznacza, że używamy związku, to słowo „lub”.
Słowo „lub”
Kiedy używamy słowa „lub” w codziennych rozmowach, możemy nie zdawać sobie sprawy, że to słowo jest używane na dwa różne sposoby. Sposób jest zwykle wywnioskowany z kontekstu rozmowy. Jeśli zapytano Cię, czy chcesz kurczaka czy stek? zwykle sugeruje się, że możesz mieć jedno lub drugie, ale nie oba. Porównaj to z pytaniem: Czy chciałbyś mieć masło czy kwaśną śmietanę na pieczonym ziemniaku? Tutaj „lub” jest używane w sensie inkluzywnym, ponieważ można było wybrać tylko masło, tylko śmietanę lub zarówno masło, jak i śmietanę.
W matematyce słowo „lub” jest używane w sensie inkluzywnym. Tak więc stwierdzenie „ x jest elementem A lub element B ' oznacza, że możliwa jest jedna z trzech:
- x jest elementem sprawiedliwego A a nie elementem B
- x jest elementem sprawiedliwego B a nie elementem A .
- x jest elementem obu A oraz B . (Możemy też tak powiedzieć x jest elementem przecięcia A oraz B
Przykład
Jako przykład tego, jak połączenie dwóch zbiorów tworzy nowy zbiór, rozważmy zbiory A = {1, 2, 3, 4, 5} i B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Aby znaleźć połączenie tych dwóch zestawów, po prostu wymieniamy każdy element, który widzimy, uważając, aby nie powielić żadnych elementów. Liczby 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 znajdują się w jednym lub drugim zestawie, dlatego połączenie A oraz B to {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }.
Notacja dla Unii
Oprócz zrozumienia pojęć dotyczących operacji teorii mnogości ważna jest umiejętność odczytywania symboli używanych do oznaczania tych operacji. Symbol używany do połączenia dwóch zestawów A oraz B jest dany przez A B . Jednym ze sposobów zapamiętania symbolu ∪ odnoszącego się do unii jest zauważenie jego podobieństwa do dużej litery U, która jest skrótem od słowa unii. Bądź ostrożny, ponieważ symbol unii jest bardzo podobny do symbolu skrzyżowanie . Jeden jest uzyskiwany z drugiego przez pionowe odwrócenie.
Aby zobaczyć ten zapis w działaniu, odnieś się do powyższego przykładu. Tutaj mieliśmy zestawy A = {1, 2, 3, 4, 5} i B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Więc napisalibyśmy równanie zbioru A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.
Unia z pustym zestawem
Jedna podstawowa tożsamość, która obejmuje unię, pokazuje nam, co się dzieje, gdy bierzemy unię dowolnego zbioru z pustym zbiorem, oznaczonym przez #8709. Zbiór pusty to zbiór bez elementów. Więc dołączenie tego do dowolnego innego zestawu nie przyniesie żadnego efektu. Innymi słowy, połączenie dowolnego zestawu z zestawem pustym da nam oryginalny zestaw z powrotem
Tożsamość ta staje się jeszcze bardziej zwarta przy użyciu naszej notacji. Mamy tożsamość: A ∅ = A .
Unia z zestawem uniwersalnym
Z drugiej strony, co się dzieje, gdy badamy połączenie zestawu z zestawem uniwersalnym? Ponieważ zestaw uniwersalny zawiera każdy element, nie możemy dodać do tego niczego więcej. Zatem unia lub jakikolwiek zbiór ze zbiorem uniwersalnym jest zbiorem uniwersalnym.
Ponownie nasz zapis pomaga nam wyrazić tę tożsamość w bardziej zwartym formacie. Dla każdego zestawu A i uniwersalny zestaw W , A W = W .
Inne tożsamości związane z Unią
Istnieje wiele innych ustalonych tożsamości, które wiążą się z wykorzystaniem operacji związkowej. Oczywiście zawsze dobrze jest ćwiczyć posługiwanie się językiem teorii mnogości. Kilka z ważniejszych wymieniono poniżej. Dla wszystkich zestawów A , oraz B oraz D mamy:
- Własność refleksyjna: A A = A
- Własność przemienna: A B = B A
- Łączność: ( A B ) D = A ( B D )
- Prawo DeMorgana I: ( A B )C= A C B C
- Prawo DeMorgana II: ( A B )C= A C B C