Co to jest przecięcie dwóch zbiorów?

Teoria mnogości

Zacieniony region reprezentuje przecięcie dwóch zbiorów A i B. C.K.Taylor

Kiedy mamy do czynienia z teoria mnogości , istnieje szereg operacji, aby zrobić nowe zestawy ze starych. Jedną z najczęstszych operacji na zbiorach jest przecięcie. Mówiąc prosto, przecięcie dwóch zbiorów A oraz B jest zbiorem wszystkich elementów, które A oraz B wspólne.

Przyjrzymy się szczegółom dotyczącym przecięcia w teorii mnogości. Jak zobaczymy, kluczowym słowem jest tutaj słowo „i”.

Przykład

Na przykład, jak przecięcie dwóch zbiorów tworzy a nowy zestaw , rozważmy zestawy A = {1, 2, 3, 4, 5} i B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Aby znaleźć przecięcie tych dwóch zbiorów, musimy dowiedzieć się, jakie elementy mają ze sobą wspólnego. Liczby 3, 4, 5 są elementami obu zbiorów, stąd przecięcia A oraz B jest {3. 4.5].

Notacja dla przecięcia

Oprócz zrozumienia pojęć dotyczących operacji teorii mnogości ważna jest umiejętność odczytywania symboli używanych do oznaczania tych operacji. Symbol przecięcia jest czasami zastępowany słowem i między dwoma zestawami. To słowo sugeruje bardziej zwartą notację dla skrzyżowania, która jest zwykle używana.

Symbol używany do przecięcia dwóch zestawów A oraz B jest dany przez A B . Jednym ze sposobów na zapamiętanie, że ten symbol ∩ odnosi się do przecięcia, jest zauważenie jego podobieństwa do dużej litery A, która jest skrótem od słowa „i”.

Aby zobaczyć ten zapis w działaniu, odnieś się do powyższego przykładu. Tutaj mieliśmy zestawy A = {1, 2, 3, 4, 5} i B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Więc napisalibyśmy równanie zbioru A B = {3, 4, 5}.

Przecięcie z pustym zbiorem

Jedna podstawowa tożsamość, która obejmuje przecięcie, pokazuje nam, co się stanie, gdy weźmiemy przecięcie dowolnego zbioru z pustym zbiorem, oznaczonym przez #8709. Zbiór pusty to zbiór bez elementów. Jeśli nie ma elementów w przynajmniej jednym ze zbiorów, których przecięcie próbujemy znaleźć, to te dwa zbiory nie mają wspólnych elementów. Innymi słowy, przecięcie dowolnego zbioru z pusty zestaw da nam pusty zestaw.

Tożsamość ta staje się jeszcze bardziej zwarta przy użyciu naszej notacji. Mamy tożsamość: A ∅ = .

Przecięcie ze zbiorem uniwersalnym

Z drugiej strony, co się dzieje, gdy badamy przecięcie zbioru ze zbiorem uniwersalnym? Podobne do słowa wszechświat w astronomii oznacza wszystko, zestaw uniwersalny zawiera każdy element. Wynika z tego, że każdy element naszego zbioru jest także elementem zbioru uniwersalnego. Zatem przecięcie dowolnego zbioru ze zbiorem uniwersalnym jest zbiorem, od którego zaczęliśmy.

Znowu nasz zapis przychodzi na ratunek, aby bardziej zwięźle wyrazić tę tożsamość. Dla każdego zestawu A i uniwersalny zestaw W , A W = A .

Inne tożsamości związane ze skrzyżowaniem

Istnieje wiele innych równań na mnogościach, które wymagają użycia operacji przecięcia. Oczywiście zawsze dobrze jest ćwiczyć posługiwanie się językiem teorii mnogości. Dla wszystkich zestawów A , oraz B oraz D mamy:

• Własność refleksyjna: A A = A
• Własność przemienna: A B = B A
• Łączność : ( A B ) D = A ( B D )
• Własność dystrybucyjna: ( A B ) D = ( A D )∪ ( B D )
• Prawo DeMorgana I: ( A B )^C= A ^C B ^C
• Prawo DeMorgana II: ( A B )^C= A ^C B ^C