Jaka jest różnica dwóch zbiorów w teorii zbiorów?

Czerwony obszar diagramu Venna oznacza zbiór A - B. C.K.Taylor

Różnica dwóch zestawów, zapisanych A - B jest zbiorem wszystkich elementów A które nie są elementami B . Operacja różnicy, wraz z sumą i przecięciem, jest ważnym i podstawowe działanie teorii mnogości .

Opis różnicy

Odejmowanie jednej liczby od drugiej można rozważać na wiele różnych sposobów. Jeden model, który pomaga w zrozumieniu tej koncepcji, nazywa się modelem na wynos odejmowanie . W tym przypadku problem 5 - 2 = 3 zostałby zademonstrowany, zaczynając od pięciu obiektów, usuwając dwa z nich i licząc, że pozostały trzy. W podobny sposób, w jaki znajdujemy różnicę między dwiema liczbami, możemy znaleźć różnicę dwóch zestawów.

Przykład

Przyjrzymy się przykładowi ustawionej różnicy. Aby zobaczyć, jaka jest różnica dwóch zestawy tworzy nowy zestaw, rozważmy zestawy A = {1, 2, 3, 4, 5} i B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Aby znaleźć różnicę A - B z tych dwóch zestawów zaczynamy od wypisania wszystkich elementów A , a następnie zabierz każdy element A to także element B . Odkąd A dzieli elementy 3, 4 i 5 z B , to daje nam ustawioną różnicę A - B = {1, 2}.

Zamówienie jest ważne

Tak jak różnice 4 - 7 i 7 - 4 dają nam różne odpowiedzi, musimy uważać na kolejność, w jakiej obliczamy ustawioną różnicę. Aby użyć terminu technicznego z matematyki, powiedzielibyśmy, że działanie różnicy na zbiorze nie jest przemienne. Oznacza to, że generalnie nie możemy zmienić kolejności różnicy dwóch zbiorów i oczekiwać tego samego wyniku. Możemy dokładniej stwierdzić, że dla wszystkich zestawów A oraz B , A - B nie jest równe B - A .

Aby to zobaczyć, wróć do powyższego przykładu. Obliczyliśmy, że dla zestawów A = {1, 2, 3, 4, 5} i B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}, różnica A - B = {1, 2}. Aby porównać to do B - A, zaczynamy od elementów B , czyli 3, 4, 5, 6, 7, 8, a następnie usuń 3, 4 i 5, ponieważ są one wspólne z A . Wynik to B - A = {6, 7, 8}. Ten przykład wyraźnie pokazuje nam, że A - B nie jest równy B - A .

Dopełnienie

Jeden rodzaj różnicy jest na tyle ważny, że uzasadnia jego własną specjalną nazwę i symbol. Nazywa się to uzupełnieniem i jest używane do określenia różnicy, gdy pierwszy zestaw to zestaw uniwersalny. Uzupełnieniem A jest podane przez wyrażenie W - A . Odnosi się to do zbioru wszystkich elementów w zbiorze uniwersalnym, które nie są elementami A . Ponieważ rozumie się, że zestaw elementów z których możemy wybierać pochodzą z zestawu uniwersalnego, możemy po prostu powiedzieć, że dopełnienie A to zbiór składający się z elementów, które ​nie są elementami A .

Dopełnienie zbioru jest względne w stosunku do zbioru uniwersalnego, z którym pracujemy. Z A = {1, 2, 3} i W = {1, 2 ,3, 4, 5}, dopełnienie A wynosi {4, 5}. Jeśli nasz zestaw uniwersalny jest inny, powiedzmy W = {-3, -2, 0, 1, 2, 3 }, to dopełnienie A {-3, -2, -1, 0}. Zawsze zwracaj uwagę na to, jaki uniwersalny zestaw jest używany.

Notacja dopełnienia

Słowo „uzupełnienie” zaczyna się na literę C, więc jest ono używane w notacji. Uzupełnienie zestawu A jest napisane jako A ^C. Możemy więc wyrazić definicję dopełnienia w symbolach jako: A ^C= W - A .

Inny sposób, który jest powszechnie używany do oznaczenia dopełnienia zbioru, obejmuje apostrof i jest zapisywany jako A „.

Inne tożsamości związane z różnicą i dopełnieniami

Istnieje wiele tożsamości zestawów, które wymagają użycia operacji różnicy i uzupełnienia. Niektóre tożsamości łączą inne operacje na zbiorach, takie jak skrzyżowanie oraz unia . Kilka z ważniejszych wymieniono poniżej. Dla wszystkich zestawów A , oraz B oraz D mamy:

• A - A =∅
• A - = A
• - A =
• A - W =
• ( A ^C)^C= A
• Prawo DeMorgana I: ( A B )^C= A ^C B ^C
• Prawo DeMorgana II: ( A B )^C= A ^C B ^C