Jaki jest zestaw mocy?

Jedno pytanie w teoria mnogości jest to, czy zbiór jest podzbiorem innego zbioru. Podzbiór A to zbiór, który powstaje z niektórych elementów zbioru A . W celu B być podzbiorem A , każdy element B musi być również elementem A .

Każdy zestaw ma kilka podzbiorów. Czasami pożądane jest poznanie wszystkich możliwych podzbiorów. W tym przedsięwzięciu pomaga konstrukcja znana jako power set. Zestaw mocy zestawu A to zestaw z elementami, które są również zestawami. Ten zbiór potęgowy utworzony przez uwzględnienie wszystkich podzbiorów danego zbioru A .

Przykład 1

Rozważymy dwa przykłady zestawów mocy. Po pierwsze, jeśli zaczniemy od zestawu A = {1, 2, 3}, to jaki jest zbiór potęgowy? Kontynuujemy, wymieniając wszystkie podzbiory A .

• The pusty zestaw jest podzbiorem A . Rzeczywiście pusty zbiór jest podzbiorem każdego zbioru . Jest to jedyny podzbiór bez elementów A .
• Zbiory {1}, {2}, {3} są jedynymi podzbiorami A z jednym elementem.
• Zbiory {1, 2}, {1, 3}, {2, 3} są jedynymi podzbiorami A z dwoma elementami.
• Każdy zbiór jest podzbiorem samego siebie. Zatem A = {1, 2, 3} jest podzbiorem A . To jedyny podzbiór składający się z trzech elementów.

A A A

Przykład 2

W drugim przykładzie rozważymy zbiór potęg B ={1, 2, 3, 4}. Wiele z tego, co powiedzieliśmy powyżej, jest teraz podobne, jeśli nie identyczne:

• Pusty zestaw i B to oba podzbiory.
• Ponieważ istnieją cztery elementy B , istnieją cztery podzbiory z jednym elementem: {1}, {2}, {3}, {4}.
• Ponieważ każdy podzbiór trzech elementów można utworzyć, eliminując jeden element z B i są cztery elementy, są cztery takie podzbiory: {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4}.
• Pozostaje określić podzbiory z dwoma elementami. Tworzymy podzbiór dwóch elementów wybranych ze zbioru 4. To jest kombinacja i są C (4, 2) = 6 z tych kombinacji. Podzbiory to: {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}.

B B

Notacja

Istnieją dwa sposoby, aby zestaw mocy zestawu A jest oznaczony. Jednym ze sposobów oznaczenia tego jest użycie symbolu P ( A ), gdzie czasami ta litera P jest napisany stylizowanym pismem. Kolejna notacja dla zestawu potęgowego A jest 2 ^A . Ta notacja jest używana do połączenia zestawu mocy z liczbą elementów w zestawie mocy.

Rozmiar zestawu zasilającego

Przyjrzymy się dalej tej notacji. Jeśli A jest skończonym zbiorem z n elementy, a następnie jego zestaw mocy P( A ) będzie miał 2 ⁿ elementy. Jeśli pracujemy ze zbiorem nieskończonym, myślenie o 2 . nie jest pomocne ⁿ elementy. Jednak twierdzenie Cantora mówi nam, że kardynalność zbioru i jego potęga nie mogą być takie same.

Kwestią otwartą w matematyce było, czy moc zbioru potęgowego zbioru przeliczalnie nieskończonego pasuje do mocy zbioru liczb rzeczywistych. Rozwiązanie tego pytania jest dość techniczne, ale mówi, że możemy zdecydować się na taką identyfikację kardynalności, czy nie. Oba prowadzą do spójnej teorii matematycznej.

Zestawy mocy w prawdopodobieństwie

Przedmiot prawdopodobieństwa opiera się na teorii mnogości. Zamiast odnosić się do uniwersalnych zbiorów i podzbiorów, zamiast tego mówimy o przestrzenie próbne oraz wydarzenia . Czasami podczas pracy z przestrzenią próbki chcemy określić zdarzenia w tej przestrzeni próbki. Zestaw mocy przykładowej przestrzeni, którą dysponujemy, da nam wszystkie możliwe zdarzenia.