Czym są aksjomaty prawdopodobieństwa?

Trzy aksjomaty prawdopodobieństwa. C.K.Taylor

Jedną ze strategii w matematyce jest rozpoczęcie od kilku zdań, a następnie zbudowanie z nich większej ilości informacji matematycznych. Stwierdzenia początkowe znane są jako aksjomaty. Aksjomat jest zazwyczaj czymś matematycznie oczywistym. Ze stosunkowo krótkiej listy aksjomatów logika dedukcyjna służy do udowodnienia innych twierdzeń, zwanych twierdzeniami lub twierdzeniami.

Nie inaczej jest w dziedzinie matematyki zwanej prawdopodobieństwem. Prawdopodobieństwo można sprowadzić do trzech aksjomatów. Po raz pierwszy zrobił to matematyk Andriej Kołmogorow. Garść aksjomatów, które leżą u podstaw prawdopodobieństwa, może być wykorzystana do wydedukowania wszystkich sortuje wyników. Ale czym są te aksjomaty prawdopodobieństwa?

Definicje i Wstępy

Aby zrozumieć aksjomaty prawdopodobieństwa, musimy najpierw omówić kilka podstawowych definicji. Przypuszczamy, że mamy zbiór wyników zwany przestrzenią próbek S. Ta przykładowa przestrzeń może być traktowana jako uniwersalny zestaw dla badanej przez nas sytuacji. Przestrzeń prób składa się z podzbiorów zwanych zdarzeniami ORAZ ₁, ORAZ _dwa,. . ., ORAZ_n .

Zakładamy również, że istnieje sposób przypisania prawdopodobieństwa do dowolnego zdarzenia ORAZ . Można to traktować jako funkcję, która ma zestaw danych wejściowych, a prawdziwy numer jako wyjście. Prawdopodobieństwo wydarzenie ORAZ jest oznaczony przez P ( ORAZ ).

Aksjomat jeden

Pierwszym aksjomatem prawdopodobieństwa jest to, że prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia jest nieujemną liczbą rzeczywistą. Oznacza to, że najmniejsze prawdopodobieństwo, jakie kiedykolwiek może być, wynosi zero i nie może być nieskończone. Zbiór liczb, którego możemy użyć, to liczby rzeczywiste. Odnosi się to zarówno do liczb wymiernych, znanych również jako ułamki, jak i liczb niewymiernych, których nie można zapisać jako ułamki.

Należy zauważyć, że ten aksjomat nie mówi nic o tym, jak duże może być prawdopodobieństwo zdarzenia. Aksjomat eliminuje możliwość występowania ujemnych prawdopodobieństw. Odzwierciedla pogląd, że najmniejsze prawdopodobieństwo, zarezerwowane dla zdarzeń niemożliwych, wynosi zero.

Aksjomat drugi

Drugim aksjomatem prawdopodobieństwa jest to, że prawdopodobieństwo całej przestrzeni próbek wynosi jeden. Symbolicznie piszemy P ( S ) = 1. Założeniem tego aksjomatu jest założenie, że przestrzeń próbek jest wszystkim, co jest możliwe dla naszego eksperymentu prawdopodobieństwa i że poza przestrzenią próbek nie ma żadnych zdarzeń.

Sam ten aksjomat nie wyznacza górnej granicy prawdopodobieństw zdarzeń, które nie stanowią całej przestrzeni próbek. Odzwierciedla to, że coś z absolutną pewnością ma prawdopodobieństwo 100%.

Aksjomat trzeci

Trzeci aksjomat prawdopodobieństwa dotyczy zdarzeń wzajemnie wykluczających się. Jeśli ORAZ ₁oraz ORAZ _dwasą wzajemnie się wykluczające , co oznacza, że ​​mają puste przecięcie i używamy U do oznaczenia sumy, wtedy P ( ORAZ ₁W ORAZ _dwa) = P ( ORAZ ₁) + P ( ORAZ _dwa).

Aksjomat w rzeczywistości obejmuje sytuację kilkoma (nawet przeliczalnie nieskończonymi) zdarzeniami, których każda para wzajemnie się wyklucza. Dopóki to nastąpi, prawdopodobieństwo związku zdarzeń jest równa sumie prawdopodobieństw:

P ( ORAZ ₁W ORAZ _dwaW . . . W ORAZ_n ) = P ( ORAZ ₁) + P ( ORAZ _dwa) + . . . + ORAZ_n

Chociaż ten trzeci aksjomat może nie wydawać się zbyt użyteczny, zobaczymy, że w połączeniu z pozostałymi dwoma aksjomatami jest rzeczywiście dość potężny.

Aplikacje Aksjomat

Trzy aksjomaty wyznaczają górną granicę prawdopodobieństwa dowolnego zdarzenia. Oznaczamy dopełnienie wydarzenia ORAZ za pomocą ORAZ ^C. Z teorii mnogości, ORAZ oraz ORAZ ^Cmają puste przecięcie i wzajemnie się wykluczają. Ponadto ORAZ W ORAZ ^C= S , cała przestrzeń próbki.

Te fakty w połączeniu z aksjomatami dają nam:

1 = P ( S ) = P ( ORAZ W ORAZ ^C) = P ( ORAZ ) + P ( ORAZ ^C) .

Przestawiamy powyższe równanie i widzimy, że P ( ORAZ ) = 1 - P ( ORAZ ^C). Ponieważ wiemy, że prawdopodobieństwa muszą być nieujemne, mamy teraz, że górna granica prawdopodobieństwa dowolnego zdarzenia wynosi 1.

Zmieniając formułę ponownie, mamy P ( ORAZ^C ) = 1 - P ( ORAZ ). Z tego wzoru możemy również wywnioskować, że prawdopodobieństwo, że zdarzenie nie nastąpi, wynosi jeden minus prawdopodobieństwo, że ono wystąpi.

Powyższe równanie daje nam również sposób na obliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia niemożliwego, oznaczanego przez zbiór pusty. Aby to zobaczyć, przypomnij sobie, że pusty zbiór jest dopełnieniem zbioru uniwersalnego, w tym przypadku S ^C. Ponieważ 1 = P ( S ) + P ( S ^C) = 1 + P ( S ^C), przez algebrę mamy P ( S ^C) = 0.

Dalsze aplikacje

Powyższe to tylko kilka przykładów własności, które można udowodnić bezpośrednio z aksjomatów. Istnieje o wiele więcej wyników w prawdopodobieństwie. Ale wszystkie te twierdzenia są logicznymi rozszerzeniami trzech aksjomatów prawdopodobieństwa.