Jak używać normalnego przybliżenia do rozkładu dwumianowego

C.K.Taylor

Rozkład dwumianowy obejmuje oddzielny zmienna losowa. Prawdopodobieństwa w układzie dwumianowym można obliczyć w prosty sposób, korzystając ze wzoru na współczynnik dwumianowy. Chociaż teoretycznie jest to łatwe obliczenie, w praktyce może stać się dość żmudne, a nawet obliczeniowo niemożliwe obliczyć prawdopodobieństwa dwumianowe . Te problemy można ominąć, używając zamiast tego normalna dystrybucja przybliżyć rozkład dwumianowy . Zobaczymy, jak to zrobić, przechodząc przez kolejne etapy obliczeń.

Kroki do użycia normalnego przybliżenia

Najpierw musimy ustalić, czy właściwe jest użycie przybliżenia normalnego. Nie każdy rozkład dwumianowy jest takie samo. Niektóre eksponaty wystarczająco skośność że nie możemy użyć normalnego przybliżenia. Aby sprawdzić, czy należy użyć przybliżenia normalnego, musimy spojrzeć na wartość p , czyli prawdopodobieństwo sukcesu, oraz n , czyli liczba obserwacji naszego zmienna dwumianowa .

Aby użyć przybliżenia normalnego, bierzemy pod uwagę oba np oraz n ( 1 - p ). Jeśli obie te liczby są większe lub równe 10, wtedy uzasadnione jest użycie normalnego przybliżenia. Jest to ogólna zasada i zazwyczaj im większe wartości np oraz n ( 1 - p ), tym lepsze jest przybliżenie.

Porównanie między dwumianem a normalnym

Porównamy dokładne prawdopodobieństwo dwumianowe z prawdopodobieństwem uzyskanym przez normalne przybliżenie. Rozważamy rzucanie 20 monetami i chcemy poznać prawdopodobieństwo, że pięć lub mniej monet było orłami. Jeśli X to liczba głów, to chcemy znaleźć wartość:

P( X = 0) + P( X = 1) + P( X = 2) + P( X = 3) + P( X = 4) + P( X = 5).

The zastosowanie wzoru dwumianowego dla każdego z tych sześciu prawdopodobieństw pokazuje nam, że prawdopodobieństwo wynosi 2,0695%. Zobaczymy teraz, jak blisko tej wartości będzie nasze normalne przybliżenie.

Sprawdzając warunki, widzimy, że zarówno np oraz np (1 - p ) są równe 10. To pokazuje, że w tym przypadku możemy użyć przybliżenia normalnego. Wykorzystamy rozkład normalny ze średnią np = 20(0,5) = 10 i odchylenie standardowe (20(0,5)(0,5))^0,5= 2236.

Aby określić prawdopodobieństwo, że X jest mniejsze lub równe 5, musimy znaleźć z -score dla 5 w rozkładzie normalnym, którego używamy. Zatem z = (5 – 10)/2,236 = -2,236. Korzystając z tabeli z -punkty widzimy, że prawdopodobieństwo, że z jest mniejsze lub równe -2,236 to 1,267%. Różni się to od rzeczywistego prawdopodobieństwa, ale mieści się w granicach 0,8%.

Współczynnik korekcji ciągłości

Aby poprawić nasze szacunki, należy wprowadzić współczynnik korygujący ciągłość. Jest to używane, ponieważ normalna dystrybucja jestrozkład dwumianowyjest dyskretny. Dla dwumianowej zmiennej losowej histogram prawdopodobieństwa dla X = 5 będzie zawierał pręt, który przechodzi od 4,5 do 5,5 i jest wyśrodkowany na 5.

Oznacza to, że w powyższym przykładzie prawdopodobieństwo, że X jest mniejsze lub równe 5 dla zmiennej dwumianowej powinno być oszacowane przez prawdopodobieństwo, że X jest mniejsza lub równa 5,5 dla ciągłej zmiennej normalnej. Zatem z = (5,5 – 10)/2,236 = -2,013. Prawdopodobieństwo, że z