Wykorzystanie funkcji generowania momentu do rozkładu dwumianowego

Histogram rozkładu dwumianowego. C.K.Taylor

Średnia i wariancja zmiennej losowej X z dwumianowy rozkład prawdopodobieństwa może być trudne do bezpośredniego obliczenia. Chociaż może być jasne, co należy zrobić, korzystając z definicji wartość oczekiwana z X oraz X ^dwa, faktyczne wykonanie tych kroków to trudna żonglerka algebrą i sumowaniem. Alternatywny sposób określenia średniej i wariancji rozkład dwumianowy jest użycie funkcja generowania momentu dla X .

Dwumianowa zmienna losowa

Zacznij od zmiennej losowej X i opisz rozkład prawdopodobieństwa dokładniej. Odgrywać n niezależne próby Bernoulliego, z których każda ma prawdopodobieństwo powodzenia p i prawdopodobieństwo awarii 1 - p . Zatem funkcja masy prawdopodobieństwa to

f ( x ) = C ( n , x ) p^x (1 - p ) ^{n - x}

Tutaj termin C ( n , x ) oznacza liczbę kombinacji n elementy pobrane x na raz i x może przyjmować wartości 0, 1, 2, 3, . . ., n .

Funkcja generowania momentu

Użyj tej funkcji masy prawdopodobieństwa, aby uzyskać funkcję generującą moment X :

M ( t ) = S _{x = 0} ⁿ oraz^txC ( n , x )>) p^x (1 - p ) ^{n - x} .

Staje się jasne, że możesz łączyć terminy z wykładnikiem x :

M ( t ) = S _{x = 0} ⁿ ( na ^t ) ^xC ( n , x )>)(1 – p ) ^{n - x} .

Co więcej, używając wzoru dwumianowego, powyższe wyrażenie jest po prostu:

M ( t ) = [(1 – p ) + na ^t ] ⁿ .

Obliczanie średniej

Aby znaleźć oznaczać i wariancji, musisz znać oba M „(0) i M ''(0). Zacznij od obliczenia swoich instrumentów pochodnych, a następnie oceń każdy z nich w t = 0.

Zobaczysz, że pierwsza pochodna funkcji generującej momenty to:

M „( t ) = n ( na ^t )[(1 - p ) + na ^t ] ^{n - 1}.

Na tej podstawie możesz obliczyć średnią rozkładu prawdopodobieństwa. M (0) = n ( na ⁰)[(1 - p ) + na ⁰] ^{n - 1}= np . To pasuje do wyrażenia, które otrzymaliśmy bezpośrednio z definicji średniej.

Obliczanie wariancji

Obliczenie wariancji odbywa się w podobny sposób. Najpierw ponownie różniczkujemy funkcję generującą momenty, a następnie obliczamy tę pochodną w t = 0. Tutaj to zobaczysz

M ''( t ) = n ( n - 1)( na ^t )^dwa[(1 - p ) + na ^t ] ^{n - dwa}+ n ( na ^t )[(1 - p ) + na ^t ] ^{n - 1}.

Aby obliczyć wariancję tej zmiennej losowej, musisz znaleźć M ''( t ). Tutaj masz M ''(0) = n ( n - 1) p ^dwa+ np . Wariancja σ^dwatwojej dystrybucji to

p^dwa= M ''(0) – [ M „(0)]^dwa= n ( n - 1) p ^dwa+ np - ( np )^dwa= np (1 - p ).

Chociaż ta metoda jest nieco skomplikowana, nie jest tak skomplikowana, jak obliczanie średniej i wariancji bezpośrednio z funkcji masy prawdopodobieństwa.