Funkcja generowania momentów zmiennej losowej

Funkcję generującą momenty zmiennej losowej definiuje się w postaci wartości oczekiwanej. C.K.Taylor

Jednym ze sposobów obliczenia średniej i wariancji a rozkład prawdopodobieństwa jest znalezienie oczekiwane wartości zmiennych losowych X oraz X ^dwa. Używamy notacji ORAZ ( X ) oraz ORAZ ( X ^dwa), aby oznaczyć te oczekiwane wartości. Ogólnie trudno obliczyć ORAZ ( X ) oraz ORAZ ( X ^dwa) bezpośrednio. Aby obejść tę trudność, korzystamy z bardziej zaawansowanej teorii matematycznej i rachunku różniczkowego. Efekt końcowy to coś, co ułatwia nam obliczenia.

Strategią dla tego problemu jest zdefiniowanie nowej funkcji, nowej zmiennej t nazywa się to funkcją generującą momenty. Ta funkcja pozwala nam obliczyć momenty po prostu biorąc pochodne.

Założenia

Zanim zdefiniujemy funkcję generującą momenty, zaczynamy od ustawienia sceny z zapisem i definicjami. Pozwalamy X być Dyskretna zmienna losowa . Ta zmienna losowa ma funkcję masy prawdopodobieństwa f ( x ). Przykładowa przestrzeń, z którą pracujemy, będzie oznaczona przez S .

Zamiast obliczać oczekiwaną wartość X , chcemy obliczyć wartość oczekiwaną funkcji wykładniczej związanej z X . Jeśli jest pozytyw prawdziwy numer r takie, że ORAZ ( oraz^tX ) istnieje i jest skończona dla wszystkich t w przedziale [- r , r ], to możemy zdefiniować funkcję tworzącą moment X .

Definicja

Funkcja generująca moment jest wartością oczekiwaną powyższej funkcji wykładniczej. Innymi słowy, mówimy, że funkcja generująca moment X jest dany przez:

M ( t ) = ORAZ ( oraz^tX )

Ta oczekiwana wartość to wzór Σ oraz ^tx f ( x ), gdzie sumowanie jest przejmowane nad wszystkimi x w przestrzeń próbki S . Może to być suma skończona lub nieskończona, w zależności od używanej przestrzeni próbek.

Nieruchomości

Funkcja generowania momentów ma wiele funkcji, które łączą się z innymi tematami w prawdopodobieństwie i statystyce matematycznej. Niektóre z jego najważniejszych cech to:

• Współczynnik oraz^tb jest prawdopodobieństwo, że X = b .
• Funkcje generujące moment posiadają właściwość jednoznaczności. Jeżeli funkcje generujące momenty dla dwóch zmiennych losowych są zgodne, to funkcje masy prawdopodobieństwa muszą być takie same. Innymi słowy, zmienne losowe opisują ten sam rozkład prawdopodobieństwa.
• Funkcje generujące momenty mogą być użyte do obliczenia momentów X .

Obliczanie momentów

Ostatnia pozycja na powyższej liście wyjaśnia nazwy funkcji generujących momenty, a także ich przydatność. Jakaś zaawansowana matematyka mówi, że w warunkach, które przedstawiliśmy, pochodna dowolnego rzędu funkcji M ( t ) istnieje na kiedy t = 0. Ponadto w tym przypadku możemy zmienić kolejność sumowania i różniczkowania względem t aby otrzymać następujące wzory (wszystkie sumy są ponad wartościami x w przestrzeni próbki S ):

• M „( t ) = S samochód^tx f ( x )
• M ''( t ) = S x^dwaoraz^tx f ( x )
• M ''''( t ) = S x³oraz^tx f ( x )
• M ⁽ⁿ⁾„( t ) = S xⁿoraz^tx f ( x )

Jeśli ustawimy t = 0 w powyższych wzorach, to oraz^tx termin staje się oraz ⁰= 1. W ten sposób otrzymujemy wzory na momenty zmiennej losowej X :

• M ’(0) = ORAZ ( X )
• M ''(0) = ORAZ ( X ^dwa)
• M ''''(0) = ORAZ ( X ³)
• M ^{( n )}(0) = ORAZ ( Xⁿ )

Oznacza to, że jeśli dla danej zmiennej losowej istnieje funkcja tworząca moment, to możemy znaleźć jej średnią i jej wariancję w postaci pochodnych funkcji tworzącej moment. Średnia jest M „(0), a wariancja to M ''(0) – [ M „(0)]^dwa.

Streszczenie

Podsumowując, musieliśmy przebić się do dość zaawansowanej matematyki, więc niektóre rzeczy zostały przesłonięte. Chociaż do powyższego musimy używać rachunku różniczkowego, w końcu nasza praca matematyczna jest zazwyczaj łatwiejsza niż obliczanie momentów bezpośrednio z definicji.