Normalne przybliżenie do rozkładu dwumianowego

Matt Cardy / Getty Images

Zmienne losowe o rozkładzie dwumianowym wiadomo, że są dyskretne. Oznacza to, że istnieje policzalna liczba wyników, które mogą wystąpić w rozkładzie dwumianowym, z oddzieleniem tych wyników. Na przykład zmienna dwumianowa może przyjąć wartość trzy lub cztery, ale nie liczbę pomiędzy trzema a czterema.

Przy dyskretnym charakterze rozkładu dwumianowego jest nieco zaskakujące, że ciągła zmienna losowa może być użyta do przybliżenia rozkładu dwumianowego. Dla wielu rozkłady dwumianowe , możemy użyć rozkładu normalnego, aby przybliżyć nasze dwumianowe prawdopodobieństwa.

Widać to, patrząc na n rzuty monetą i puszczanie X być liczbą głów. W tej sytuacji mamy rozkład dwumianowy z prawdopodobieństwem powodzenia jako p = 0,5. Gdy zwiększamy liczbę rzutów, widzimy, że prawdopodobieństwo histogram wykazuje coraz większe podobieństwo do rozkładu normalnego.

Stwierdzenie normalnego przybliżenia

Każdy rozkład normalny jest całkowicie zdefiniowany przez dwa liczby rzeczywiste . Te liczby to średnia, która mierzy środek rozkładu, a odchylenie standardowe , który mierzy rozprzestrzenianie się dystrybucji. Dla danej sytuacji dwumianowej musimy być w stanie określić, którego rozkładu normalnego użyć.

O wyborze prawidłowego rozkładu normalnego decyduje liczba prób n w układzie dwumianowym i stałym prawdopodobieństwie sukcesu p dla każdej z tych prób. Normalnym przybliżeniem dla naszej zmiennej dwumianowej jest średnia z np i odchylenie standardowe ( np (1 - p )^0,5.

Załóżmy na przykład, że odgadliśmy każde ze 100 pytań testu wielokrotnego wyboru, w którym każde pytanie miało jedną poprawną odpowiedź z czterech możliwych. Liczba poprawnych odpowiedzi X jest dwumianową zmienną losową z n = 100 i p = 0,25. Zatem ta zmienna losowa ma średnią 100 (0,25) = 25 i odchylenie standardowe (100 (0,25) (0,75)).^0,5= 4,33. Rozkład normalny ze średnią 25 i odchyleniem standardowym 4,33 będzie działał w celu przybliżenia tego rozkładu dwumianowego.

Kiedy aproksymacja jest odpowiednia?

Korzystając z matematyki, można wykazać, że istnieje kilka warunków, dla których musimy użyć normalnego przybliżenia do rozkład dwumianowy . Liczba obserwacji n musi być wystarczająco duża, a wartość p tak, że oboje np oraz n (1 - p ) są większe lub równe 10. Jest to praktyczna zasada, która opiera się na praktyce statystycznej. Normalne przybliżenie może być zawsze użyte, ale jeśli te warunki nie są spełnione, to przybliżenie może nie być tak dobre jak przybliżenie.

Na przykład, jeśli n = 100 i p = 0,25 wtedy uzasadnione jest stosowanie przybliżenia normalnego. To dlatego, że np = 25 i n (1 - p ) = 75. Ponieważ obie te liczby są większe niż 10, odpowiedni rozkład normalny wykona całkiem dobrą robotę przy szacowaniu prawdopodobieństw dwumianowych.

Dlaczego warto korzystać z przybliżenia?

Prawdopodobieństwa dwumianowe są obliczane przy użyciu bardzo prostego wzoru, aby znaleźć współczynnik dwumianowy. Niestety, ze względu na silnia we wzorze może być bardzo łatwo napotkać trudności obliczeniowe z dwumianowy formuła. Aproksymacja normalna pozwala nam ominąć każdy z tych problemów, pracując ze znajomym przyjacielem, tabelą wartości o standardowym rozkładzie normalnym.

Wielokrotnie określenie prawdopodobieństwa, że ​​dwumianowa zmienna losowa mieści się w zakresie wartości, jest żmudne do obliczenia. Dzieje się tak, ponieważ aby znaleźć prawdopodobieństwo, że zmienna dwumianowa X jest większe niż 3 i mniejsze niż 10, musielibyśmy znaleźć prawdopodobieństwo, że X równa się 4, 5, 6, 7, 8 i 9, a następnie zsumuj wszystkie te prawdopodobieństwa. Jeśli można zastosować normalne przybliżenie, zamiast tego będziemy musieli określić z-score odpowiadające 3 i 10, a następnie użyć tabeli z-score prawdopodobieństw dla standardowy rozkład normalny .