Zrozumienie silni (!) w matematyce i statystyce

matma / Getty Images

W matematyce symbole, które mają pewne znaczenia w języku angielskim może oznaczać bardzo specjalistyczne i różne rzeczy. Rozważmy na przykład następujące wyrażenie:

3!

Nie, nie korzystaliśmy z wykrzyknik aby pokazać, że jesteśmy podekscytowani trzema i nie powinniśmy czytać ostatniego zdania z naciskiem. W matematyce wyrażenie 3! jest odczytywany jako „trzy silnia” i jest tak naprawdę skróconym sposobem na oznaczenie mnożenia kilku kolejnych liczb całkowitych.

Ponieważ w matematyce i statystyce jest wiele miejsc, w których musimy mnożyć liczby przez siebie, silnia jest całkiem przydatna. Niektóre z głównych miejsc, w których się pojawia, to kombinatoryka i prawdopodobieństwo rachunek różniczkowy .

Definicja

Definicja silni jest taka, że ​​dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej n , silnia:

n ! = nx(n-1)x(n-2)x. . . x 2 x 1

Przykłady małych wartości

Najpierw przyjrzymy się kilku przykładom silni z małymi wartościami n :

• 1! = 1
• 2! = 2 x 1 = 2
• 3! = 3 x 2 x 1 = 6
• 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24
• 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
• 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720
• 7! = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5040
• 8! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 40320
• 9! = 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 362880
• 10! = 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 3628800

Jak widać silnia bardzo szybko staje się bardzo duża. Coś, co może wydawać się małe, na przykład 20! faktycznie ma 19 cyfr.

Silnie są łatwe do obliczenia, ale ich obliczenie może być nieco żmudne. Na szczęście wiele kalkulatorów ma klucz silniowy (poszukaj symbolu !). Ta funkcja kalkulatora zautomatyzuje mnożenia.

Wyjątkowy przypadek

Inną wartością silni i jedną, dla której nie obowiązuje powyższa standardowa definicja, jest wartość zerowa silnia . Jeśli zastosujemy się do wzoru, nie uzyskamy żadnej wartości dla 0!. Nie ma dodatnich liczb całkowitych mniejszych niż 0. Z kilku powodów właściwe jest zdefiniowanie 0! = 1. Silnia dla tej wartości pojawia się szczególnie we wzorach na kombinacje i permutacje .

Bardziej zaawansowane obliczenia

Kiedy mamy do czynienia z obliczeniami, ważne jest, aby pomyśleć, zanim naciśniemy klawisz silni na naszym kalkulatorze. Aby obliczyć wyrażenie takie jak 100!/98! można to zrobić na kilka różnych sposobów.

Jednym ze sposobów jest użycie kalkulator znaleźć zarówno 100! i 98!, a następnie podziel jeden przez drugi. Chociaż jest to bezpośredni sposób obliczania, wiąże się z nim pewne trudności. Niektóre kalkulatory nie obsługują wyrażeń tak dużych jak 100! = 9,3326215 x 10¹⁵⁷. (Wyrażenie 10¹⁵⁷jest notacją naukową, która oznacza, że ​​mnożymy przez 1, a następnie 157 zer).

Inny sposób na uproszczenie wyrażenia z silniami, taki jak tutaj, nie wymaga wcale kalkulatora. Sposobem na podejście do tego problemu jest uznanie, że możemy przepisać 100! nie jako 100 x 99 x 98 x 97 x . . . x 2 x 1, ale zamiast 100 x 99 x 98! Wyrażenie 100!/98! teraz staje się (100 x 99 x 98!)/98! = 100 x 99 = 9900.