Stopnie swobody w statystyce i matematyce
Monty Rakusen / Getty Images
W statystyce stopnie swobody służą do definiowania liczby niezależnych wielkości, które można przypisać do rozkładu statystycznego. Liczba ta zazwyczaj odnosi się do dodatniej liczby całkowitej, która wskazuje na brak ograniczeń zdolności danej osoby do obliczania brakujących czynników na podstawie problemów statystycznych.
Stopnie swobody działają jak zmienne w ostatecznym obliczeniu statystyki i są używane do określenia wyniku różnych scenariuszy w systemie, a stopnie swobody matematyczne definiują liczbę wymiarów w dziedzinie, która jest potrzebna do określenia pełnego wektor .
Aby zilustrować pojęcie stopnia swobody, przyjrzymy się podstawowym obliczeniom dotyczącym średniej próbki, a aby znaleźć średnią z listy danych, dodajemy wszystkie dane i dzielimy przez całkowitą liczbę wartości.
Ilustracja z przykładową średnią
Przypuśćmy przez chwilę, że znamy oznaczać zestawu danych wynosi 25, a wartości w tym zestawie to 20, 10, 50 i jedna nieznana liczba. Wzór na średnią z próbki daje nam równanie (20 + 10 + 50 + x)/4 = 25 , gdzie x oznacza nieznane, używając niektórych podstawowych algebra , można wtedy ustalić, że brakująca liczba, x , jest równy 20.
Zmieńmy nieco ten scenariusz. Ponownie zakładamy, że wiemy, że średnia zbioru danych wynosi 25. Jednak tym razem wartości w zbiorze danych to 20, 10 i dwie nieznane wartości. Te niewiadome mogą być różne, więc używamy dwóch różne zmienne , x , oraz Tak, aby to oznaczyć. Otrzymane równanie to (20 + 10 + x + y)/4 = 25 . Przy pomocy pewnej algebry otrzymujemy Tak = 70- x . Wzór jest napisany w tej formie, aby pokazać, że raz wybierzemy wartość dla x , wartość dla Tak jest całkowicie zdeterminowany. Mamy do wyboru jeden wybór, a to pokazuje, że jest jeden stopień wolności .
Teraz przyjrzymy się próbce o wielkości stu. Jeśli wiemy, że średnia tych przykładowych danych wynosi 20, ale nie znamy wartości żadnych danych, to mamy 99 stopni swobody. Wszystkie wartości muszą się sumować w sumie 20 x 100 = 2000. Gdy mamy wartości 99 elementów w zbiorze danych, to ostatni z nich został określony.
Wynik t-Studenta i rozkład chi-kwadrat
Stopnie swobody odgrywają ważną rolę podczas korzystania z Student t -tabela wyników . Właściwie jest ich kilka t-score dystrybucje. Rozróżniamy te rozkłady za pomocą stopni swobody.
Tutaj rozkład prawdopodobieństwa którego używamy, zależy od wielkości naszej próbki. Jeśli nasz rozmiar próbki to n , to liczba stopni swobody wynosi n -1. Na przykład próba o rozmiarze 22 wymagałaby od nas użycia wiersza t -tabela wyników z 21 stopniami swobody.
Użycie rozkład chi-kwadrat wymaga również użycia stopnie swobody. Tutaj w identyczny sposób jak w przypadku t-score rozkład, wielkość próby określa, którego rozkładu użyć. Jeśli wielkość próbki to n , to są n-1 stopnie swobody.
Odchylenie standardowe i techniki zaawansowane
Kolejnym miejscem, w którym pojawiają się stopnie swobody, jest wzór na odchylenie standardowe. To zjawisko nie jest tak jawne, ale możemy to zobaczyć, jeśli wiemy, gdzie szukać. Do znajdź odchylenie standardowe szukamy „przeciętnego” odchylenia od średniej. Jednak po odjęciu średniej od każdej wartości danych i podniesieniu różnic do kwadratu, dzielimy przez n-1 zamiast n jak możemy się spodziewać.
Obecność n-1 pochodzi z liczby stopni swobody. Ponieważ n wartości danych i średnia próbki są używane we wzorze, są n-1 stopnie swobody.
Bardziej zaawansowane techniki statystyczne wykorzystują bardziej skomplikowane sposoby liczenia stopni swobody. Przy obliczaniu statystyki testowej dla dwóch średnich z niezależnymi próbkami n 1oraz n dwaelementów, liczba stopni swobody ma dość skomplikowaną formułę. Można ją oszacować za pomocą mniejszego z n1-1 oraz ndwa-1
Innym przykładem innego sposobu liczenia stopni swobody jest F test. W prowadzeniu F test, który mamy k próbki każdy o rozmiarze n —stopnie swobody w liczniku to k -1 a w mianowniku jest k ( n -1).