Stopnie swobody dla niezależności zmiennych w tabeli dwuczynnikowej

Aby zobaczyć dlaczego ( r - 1)( c - 1) to prawidłowa liczba, przyjrzymy się tej sytuacji bardziej szczegółowo. Załóżmy, że znamy sumy krańcowe dla każdego z poziomów naszych zmiennych kategorialnych. Innymi słowy, znamy sumę dla każdego wiersza i sumę dla każdej kolumny. W pierwszym rzędzie są c kolumny w naszej tabeli, więc są c komórki. Gdy znamy wartości wszystkich komórek oprócz jednej, to ponieważ znamy sumę wszystkich komórek, wyznaczenie wartości pozostałej komórki jest prostym problemem algebry. Gdybyśmy wypełniali te komórki naszej tabeli, moglibyśmy wejść c - 1 z nich swobodnie, ale wtedy pozostała komórka jest określona przez sumę rzędu. Tak więc są c - 1 stopień swobody dla pierwszego rzędu.

Kontynuujemy w ten sposób do następnego rzędu i znowu są c - 1 stopień swobody. Ten proces trwa, dopóki nie dojdziemy do przedostatniego rzędu. Każdy z wierszy z wyjątkiem ostatniego przyczynia się do powstania c - 1 stopień swobody do całości. Do czasu, gdy mamy wszystko oprócz ostatniego wiersza, ponieważ znamy sumę kolumn, możemy określić wszystkie wpisy ostatniego wiersza. To daje nam r - 1 rzędy z c - 1 stopień swobody w każdym z nich, łącznie ( r - 1)( c - 1) stopnie swobody.

Przykład

Widzimy to na poniższym przykładzie. Załóżmy, że mamy tabelę dwukierunkową z dwiema zmiennymi kategorialnymi. Jedna zmienna ma trzy poziomy, a druga dwa. Ponadto załóżmy, że znamy sumy wierszy i kolumn dla tej tabeli:

Wzór przewiduje, że istnieje (3-1)(2-1) = 2 stopnie swobody. Widzimy to w następujący sposób. Załóżmy, że wypełniamy lewą górną komórkę liczbą 80. To automatycznie określi cały pierwszy wiersz wpisów:

Teraz, jeśli wiemy, że pierwszy wpis w drugim wierszu to 50, to reszta tabeli jest wypełniona, ponieważ znamy sumę każdego wiersza i kolumny:

Tabela jest całkowicie wypełniona, ale mieliśmy tylko dwa wolne wybory. Gdy te wartości były znane, reszta tabeli została całkowicie ustalona.

Chociaż zazwyczaj nie musimy wiedzieć, dlaczego istnieje tak wiele stopni swobody, dobrze jest wiedzieć, że tak naprawdę stosujemy pojęcie stopni swobody do nowej sytuacji.