Reguła zakresu dla odchylenia standardowego

C.K. Obrazy Taylora/Getty

Odchylenie standardowe i zakres są miarami rozprzestrzenianie się zbioru danych . Każda liczba mówi nam na swój sposób, jak rozłożone są dane, ponieważ obie są miarą zmienności. Chociaż nie ma wyraźnego związku między zakres i odchylenie standardowe , tam jestpraktyczna zasadaktóre mogą być przydatne do powiązania tych dwóch statystyk. Ta zależność jest czasami określana jako reguła zakresu dla odchylenia standardowego.

Reguła zakresu mówi nam, że odchylenie standardowe próbki jest w przybliżeniu równe jednej czwartej zakresu danych. Innymi słowy s = (maksymalna – minimalna)/4 . Jest to bardzo prosta formuła w użyciu i powinna być używana tylko jako bardzo szorstka oszacowanie odchylenia standardowego .

Przykład

Aby zobaczyć przykład działania reguły zasięgu, przyjrzymy się poniższemu przykładowi. Załóżmy, że zaczynamy od wartości danych 12, 12, 14, 15, 16, 18, 18, 20, 20, 25. Te wartości mają oznaczać 17 i odchylenie standardowe około 4,1. Jeśli zamiast tego najpierw obliczymy zakres naszych danych jako 25 – 12 = 13, a następnie podzielimy tę liczbę przez cztery, otrzymamy oszacowanie odchylenia standardowego jako 13/4 = 3,25. Ta liczba jest stosunkowo zbliżona do prawdziwego odchylenia standardowego i jest dobra do przybliżonego oszacowania.

Dlaczego to działa?

Może się wydawać, że reguła zasięgu jest nieco dziwna. Dlaczego to działa? Czy nie wydaje się całkowicie arbitralne, aby po prostu podzielić przedział przez cztery? Dlaczego nie mielibyśmy podzielić przez inną liczbę? W rzeczywistości za kulisami dzieje się jakieś matematyczne uzasadnienie.

Przypomnij sobie właściwości krzywa dzwonowa i prawdopodobieństwa z standardowy rozkład normalny . Jedna funkcja ma związek z ilością danych mieszczącą się w określonej liczbie odchyleń standardowych:

• Około 68% danych mieści się w zakresie jednego odchylenia standardowego (większego lub niższego) od średniej.
• Około 95% danych mieści się w zakresie dwóch odchyleń standardowych (wyższych lub niższych) od średniej.
• Około 99% mieści się w zakresie trzech odchyleń standardowych (wyższych lub niższych) od średniej.

Liczba, której użyjemy, ma związek z 95%. Możemy powiedzieć, że 95% od dwóch odchyleń standardowych poniżej średniej do dwóch odchyleń standardowych powyżej średniej, mamy 95% naszych danych. W ten sposób prawie cały nasz rozkład normalny rozciągałby się na odcinku linii, który ma w sumie cztery odchylenia standardowe.

Nie wszystkie dane mają rozkład normalny i kształt krzywej dzwonowej. Jednak większość danych jest na tyle dobrze zachowana, że ​​odchylenie dwóch odchyleń standardowych od średniej obejmuje prawie wszystkie dane. Szacujemy i mówimy, że cztery odchylenia standardowe są w przybliżeniu wielkością zakresu, a więc zakres podzielony przez cztery jest przybliżonym przybliżeniem odchylenia standardowego.

Zastosowania reguły zasięgu

Reguła zasięgu jest pomocna w wielu ustawieniach. Po pierwsze, jest to bardzo szybkie oszacowanie odchylenia standardowego. Odchylenie standardowe wymaga od nas najpierw znalezienia średniej, a następnie odjęcia tej średniej od każdego punktu danych, podniesienia do kwadratu różnic, dodania ich, podzielenia przez jeden mniej niż liczba punktów danych, a następnie (na końcu) wyciągnięcia pierwiastka kwadratowego. Z drugiej strony reguła zakresu wymaga tylko jednego odejmowania i jednego dzielenia.

Inne miejsca, w których zasada zasięgu jest pomocna, to sytuacje, w których mamy niekompletne informacje. Formuły takie jak do określenia wielkości próbki wymagają trzech informacji: pożądanej margines błędu , poziom ufności oraz odchylenie standardowe populacji, którą badamy. Wielokrotnie nie można wiedzieć, jaka jest populacja odchylenie standardowe jest. Dzięki regule zakresu możemy oszacować tę statystykę, a następnie wiedzieć, jak dużą powinniśmy zrobić naszą próbkę.