Kiedy odchylenie standardowe jest równe zeru?
Maureen P Sullivan / Getty Images
The Odchylenie standardowe próbki to opisowa statystyka, która mierzy rozproszenie zbioru danych ilościowych. Ta liczba może być dowolną nieujemną liczbą rzeczywistą. Ponieważ zero jest nieujemne prawdziwy numer , warto zapytać, kiedy odchylenie standardowe próbki będzie równe zeru? Dzieje się tak w bardzo szczególnym i bardzo nietypowym przypadku, gdy wszystkie nasze wartości danych są dokładnie takie same. Zbadamy powody, dla których.
Opis odchylenia standardowego
Dwa ważne pytania, na które zazwyczaj chcemy odpowiedzieć na temat zestawu danych, to:
- Jakie jest centrum zbioru danych?
- Jak rozłożony jest zestaw danych?
Istnieją różne pomiary, zwane statystykami opisowymi, które odpowiadają na te pytania. Na przykład centrum danych, znane również jako przeciętny , można opisać za pomocą średniej, mediany lub trybu. Można wykorzystać inne statystyki, które są mniej znane, takie jak pościg lub trymean.
Do rozpowszechniania naszych danych możemy użyć zakresu, zakres międzykwartylowy lub odchylenie standardowe. Odchylenie standardowe jest połączone ze średnią do ilościowego określenia rozrzutu naszych danych. Możemy następnie użyć tej liczby do porównania wielu zestawów danych. Im większe jest nasze odchylenie standardowe, tym większy jest spread.
Intuicja
Zastanówmy się więc na podstawie tego opisu, co oznaczałoby odchylenie standardowe równe zero. Oznaczałoby to, że w naszym zestawie danych nie ma żadnego spreadu. Wszystkie poszczególne wartości danych byłyby zgrupowane w jednej wartości. Ponieważ istniałaby tylko jedna wartość, jaką mogłyby mieć nasze dane, wartość ta stanowiłaby średnią naszej próby.
W tej sytuacji, gdy wszystkie nasze wartości danych są takie same, nie byłoby żadnych zmian. Intuicyjnie ma sens, że odchylenie standardowe takiego zestawu danych będzie wynosić zero.
Dowód matematyczny
Odchylenie standardowe próbki jest określone wzorem. Tak więc każde stwierdzenie, takie jak powyższe, należy udowodnić za pomocą tego wzoru. Zaczynamy od zbioru danych, który pasuje do powyższego opisu: wszystkie wartości są identyczne, a są n wartości równe x .
Obliczamy średnią tego zbioru danych i widzimy, że jest
x = ( x + x + . . . + x )/ n = nx / n = x .
Teraz, gdy obliczamy poszczególne odchylenia od średniej, widzimy, że wszystkie te odchylenia wynoszą zero. W konsekwencji zarówno wariancja, jak i odchylenie standardowe są również równe zeru.
Niezbędne i wystarczające
Widzimy, że jeśli zestaw danych nie wykazuje żadnej zmienności, to jego odchylenie standardowe wynosi zero. Możemy zapytać, czy rozmawiać tego stwierdzenia jest również prawdziwe. Aby sprawdzić, czy tak jest, ponownie użyjemy wzoru na odchylenie standardowe. Tym razem jednak ustawimy odchylenie standardowe równe zero. Nie zrobimy żadnych założeń dotyczących naszego zbioru danych, ale zobaczymy jakie ustawienie s = 0 implikuje
Załóżmy, że odchylenie standardowe zbioru danych jest równe zeru. Oznaczałoby to, że wariancja próbki s dwajest również równy zero. Rezultatem jest równanie:
0 = (1/( n - 1)) ( x i- x )dwa
Obie strony równania mnożymy przez n -1 i zobacz, że suma kwadratów odchyleń jest równa zeru. Ponieważ pracujemy z liczbami rzeczywistymi, jedynym sposobem, aby to się stało, jest to, aby każde z kwadratów odchyleń było równe zero. Oznacza to, że dla każdego i , termin ( x i- x )dwa= 0.
Wyciągamy teraz pierwiastek kwadratowy z powyższego równania i widzimy, że każde odchylenie od średniej musi być równe zeru. Ponieważ dla wszystkich i ,
x i- x = 0
Oznacza to, że każda wartość danych jest równa średniej. Ten wynik wraz z powyższym pozwala nam powiedzieć, że odchylenie standardowe próbki zbioru danych wynosi zero wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie jego wartości są identyczne.