Jakie są przeciwne, przeciwstawne i odwrotne?

Corbis / VCG przez Getty Images / Getty Images

Instrukcje warunkowe pojawiają się wszędzie. W matematyce lub gdzie indziej nie trzeba długo czekać na coś w postaci If P następnie Q . Instrukcje warunkowe są rzeczywiście ważne. Ważne są również zdania, które są powiązane z pierwotnym zdaniem warunkowym poprzez zmianę pozycji P , Q i negacja oświadczenia. Zaczynając od oryginalnej instrukcji, otrzymujemy trzy nowe instrukcje warunkowe o nazwach odwrotnych, przeciwstawnych i przeciwstawnych. odwrotność .

Negacja

Zanim zdefiniujemy odwrotność, przeciwieństwo i odwrotność zdania warunkowego, musimy zbadać temat negacji. Każde stwierdzenie w logika jest albo prawda, albo fałsz. Negacja twierdzenia polega po prostu na wstawieniu słowa nie we właściwej części twierdzenia. Dodanie słowa nie jest wykonywane, aby zmienić stan prawdziwości wypowiedzi.

Pomoże przyjrzeć się przykładowi. Oświadczenie The trójkąt prostokątny jest równoboczny ma negację Trójkąt prawy nie jest równoboczny. Negacja 10 jest liczbą parzystą to stwierdzenie 10 nie jest liczbą parzystą. Oczywiście w tym ostatnim przykładzie moglibyśmy użyć definicji liczby nieparzystej i zamiast tego powiedzieć, że 10 jest liczbą nieparzystą. Zauważamy, że prawdziwość stwierdzenia jest przeciwieństwem prawdziwości negacji.

Przeanalizujemy ten pomysł w bardziej abstrakcyjnym otoczeniu. Kiedy oświadczenie P jest prawdziwe, stwierdzenie nie P to fałsz. Podobnie, jeśli P jest fałszywe, jego negacja nie ​ P jest prawdziwy. Negacje są zwykle oznaczane tyldą ~. Więc zamiast pisać nie P możemy napisać ~ P .

Odwrotne, przeciwstawne i odwrotne

Teraz możemy zdefiniować odwrotność, przeciwieństwo i odwrotność zdania warunkowego. Zaczynamy od instrukcji warunkowej If P następnie Q .

• Odwrotnością instrukcji warunkowej jest If Q następnie P .
• Przeciwieństwem instrukcji warunkowej jest Jeśli nie Q potem nie P .
• Odwrotnością instrukcji warunkowej jest Jeśli nie P potem nie Q .

Zobaczymy, jak te stwierdzenia działają na przykładzie. Załóżmy, że zaczynamy od wyrażenia warunkowego. Jeśli zeszłej nocy padało, oznacza to, że chodnik jest mokry.

• Odwrotnością stwierdzenia warunkowego jest to, że jeśli chodnik jest mokry, to zeszłej nocy padało.
• Przeciwieństwem zdania warunkowego jest to, że jeśli chodnik nie jest mokry, to nie padało zeszłej nocy.
• Odwrotnością stwierdzenia warunkowego jest to, że jeśli ostatniej nocy nie padało, chodnik nie jest mokry.

Równoważność logiczna

Możemy się zastanawiać, dlaczego ważne jest, aby tworzyć te inne zdania warunkowe z naszego początkowego. Uważne spojrzenie na powyższy przykład coś ujawnia. Załóżmy, że oryginalne stwierdzenie Jeśli wczoraj padało, to chodnik jest mokry, jest prawdziwe. Które z pozostałych stwierdzeń również muszą być prawdziwe?

• Odwrotność Jeśli chodnik jest mokry, to zeszłej nocy padało niekoniecznie. Chodnik mógł być mokry z innych powodów.
• Odwrotność Jeśli zeszłej nocy nie padało, chodnik nie jest mokry, niekoniecznie jest prawdą. Znowu to, że nie padało, nie oznacza, że ​​chodnik nie jest mokry.
• Przeciwieństwo Jeśli chodnik nie jest mokry, to nie padało zeszłej nocy to prawdziwe stwierdzenie.

To, co widzimy z tego przykładu (i co można udowodnić matematycznie), to to, że zdanie warunkowe ma taką samą wartość prawdziwości, jak jego przeciwieństwo. Mówimy, że te dwa stwierdzenia są logicznie równoważne. Widzimy również, że instrukcja warunkowa nie jest logicznie równoważna jej odwrotności i odwrotności.

Ponieważ zdanie warunkowe i jego przeciwieństwo są logicznie równoważne, możemy wykorzystać to na naszą korzyść, gdy dowodzimy twierdzeń matematycznych. Zamiast bezpośrednio udowadniać prawdziwość zdania warunkowego, możemy zamiast tego zastosować strategię dowodu pośredniego, polegającą na udowadnianiu prawdziwości przeciwstawności tego zdania. Dowody przeciwstawne działają, ponieważ jeśli przeciwieństwo jest prawdziwe, z powodu logicznej równoważności oryginalne zdanie warunkowe również jest prawdziwe.

Okazuje się, że chociaż odwrotność i odwrotność nie są logicznie równoważne oryginalnej instrukcji warunkowej , są one sobie logicznie równoważne. Jest na to łatwe wytłumaczenie. Zaczynamy od instrukcji warunkowej If Q następnie P . Przeciwieństwem tego stwierdzenia jest jeśli nie P potem nie Q . Ponieważ odwrotność jest przeciwieństwem odwrotności, odwrotność i odwrotność są logicznie równoważne.