Jaki jest rozkład Cauchy'ego?

C.K.Taylor

Jeden rozkład zmiennej losowej jest ważny nie ze względu na jej zastosowania, ale ze względu na to, co mówi nam o naszych definicjach. Rozkład Cauchy'ego jest jednym z takich przykładów, czasami określanym jako przykład patologiczny. Powodem tego jest to, że chociaż rozkład ten jest dobrze zdefiniowany i ma związek ze zjawiskiem fizycznym, rozkład ten nie ma średniej ani wariancji. Rzeczywiście, ta zmienna losowa nie posiada a funkcja generowania momentu .

Definicja rozkładu Cauchy'ego

Definiujemy rozkład Cauchy'ego, biorąc pod uwagę spinner, taki jak typ w grze planszowej. Środek tego pokrętła będzie zakotwiczony na Tak oś w punkcie (0, 1). Po obróceniu błystki wydłużymy jej odcinek linii, aż przetnie oś x. Będzie to zdefiniowane jako nasza zmienna losowa X .

Niech w oznacza mniejszy z dwóch kątów, które spinner tworzy z Tak oś. Zakładamy, że ten błystka z równym prawdopodobieństwem utworzy dowolny kąt jak inny, więc W ma równomierny rozkład w zakresie od -π/2 do π/2 .

Podstawowa trygonometria zapewnia nam powiązanie między naszymi dwiema zmiennymi losowymi:

X = więc W .

Rozkład skumulowany funkcji X wywodzi się w następujący sposób :

H ( x ) = P ( X < x ) = P ( więc W < x ) = P ( W < arktan X )

Korzystamy wtedy z faktu, że W jest jednolita, a to daje nam :

H ( x ) = 0,5 + ( arktan x )/Liczba Pi

Aby otrzymać funkcję gęstości prawdopodobieństwa różnicujemy funkcję gęstości skumulowanej. Wynik to h (x) = 1 /[Liczba Pi ( 1 + x^dwa) ]

Cechy rozkładu Cauchy'ego

To, co czyni rozkład Cauchy'ego interesującym, to fakt, że chociaż zdefiniowaliśmy go za pomocą fizycznego układu losowego spinnera, zmienna losowa z rozkładem Cauchy'ego nie ma funkcji średniej, wariancji ani funkcji generującej momenty. Wszystkie z tych chwile o pochodzeniu, które są używane do definiowania tych parametrów, nie istnieją.

Zaczynamy od rozważenia średniej. Średnia jest zdefiniowana jako oczekiwana wartość naszej zmiennej losowej, a więc E[ X ] =_-∞ x /[π (1 + x ^dwa) ] d x .

Integrujemy się za pomocą podstawienie . Jeśli ustawimy w = 1 + x ^dwawtedy widzimy, że d w = 2 x d x . Po dokonaniu podstawienia wynikowa całka niewłaściwa nie jest zbieżna. Oznacza to, że oczekiwana wartość nie istnieje, a średnia jest niezdefiniowana.

Podobnie wariancja i funkcja generująca momenty są niezdefiniowane.

Nazewnictwo rozkładu Cauchy'ego

Rozkład Cauchy'ego pochodzi od francuskiego matematyka Augustina-Louisa Cauchy'ego (1789 – 1857). Pomimo tego, że dystrybucja została nazwana na cześć Cauchy'ego, informacje dotyczące dystrybucji zostały po raz pierwszy opublikowane przez Poissona .