Czym są momenty w statystykach?

Compassionate Eye/Fundacja/Robert Daly/OJO Images/Getty Images

Momenty w statystyce matematycznej obejmują podstawowe obliczenia. Obliczenia te można wykorzystać do znalezienia średniej, wariancji i skośności rozkładu prawdopodobieństwa.

Załóżmy, że mamy zestaw danych o łącznej wartości n oddzielny zwrotnica. Jedno ważne obliczenie, które w rzeczywistości składa się z kilku liczb, nazywa się s moment. The s -ty moment zbioru danych z wartościami x ₁, x _dwa, x ₃, ... , x_n wyraża się wzorem:

( x ₁ ^s + x _dwa ^s + x ₃ ^s + ... + x_n^s )/ n

Korzystanie z tej formuły wymaga od nas ostrożności w kolejności naszych działań. Najpierw musimy wykonać wykładniki, dodać, a następnie podzielić tę sumę przez n łączna liczba wartości danych.

Uwaga na temat terminu „moment”

Termin za chwilę został zaczerpnięty z fizyki. W fizyce moment układu mas punktowych jest obliczany za pomocą wzoru identycznego jak powyżej i ten wzór jest używany do znajdowania środka masy punktów. W statystyce wartości nie są już masami, ale jak zobaczymy, momenty w statystyce wciąż mierzą coś względem środka wartości.​

Pierwsza chwila

Po raz pierwszy ustaliliśmy s = 1. Wzór na pierwszy moment jest następujący:

( x ₁x_dwa+ x ₃+ ... + x_n )/ n

Jest to identyczne z wzorem dla próbki oznaczać .

Pierwszy moment wartości 1, 3, 6, 10 to (1 + 3 + 6 + 10) / 4 = 20/4 = 5.

Druga chwila

Po raz drugi ustaliliśmy s = 2. Wzór na drugi moment to:

( x ₁^dwa+ x _dwa^dwa+ x ₃^dwa+ ... + x_n ^dwa)/ n

Drugi moment wartości 1, 3, 6, 10 to (1^dwa+ 3^dwa+ 6^dwa+10^dwa) / 4 = (1 + 9 + 36 + 100)/4 = 146/4 = 36,5.

Trzecia chwila

Po raz trzeci ustaliliśmy s = 3. Wzór na trzeci moment to:

( x ₁³+ x _dwa³+ x ₃³+ ... + x_n ³)/ n

Trzeci moment wartości 1, 3, 6, 10 to (1³+ 3³+ 6³+10³) / 4 = (1 + 27 + 216 + 1000)/4 = 1244/4 = 311.

Wyższe momenty można obliczyć w podobny sposób. Wystarczy wymienić s w powyższym wzorze z liczbą oznaczającą żądany moment.

Chwile o średniej

Pokrewnym pomysłem jest s moment o średniej. W tej kalkulacji wykonujemy następujące kroki:

1. Najpierw oblicz średnią z wartości.
2. Następnie odejmij tę średnią od każdej wartości.
3. Następnie podnieś każdą z tych różnic do s moc.
4. Teraz dodaj razem liczby z kroku 3.
5. Na koniec podziel tę sumę przez liczbę wartości, od których zaczęliśmy.

Wzór na s chwila o średniej m wartości wartości x ₁, x _dwa, x ₃, ..., x_n jest dany przez:

m_s = (( x ₁- m ) ^s + ( x _dwa- m ) ^s + ( x ₃- m ) ^s + ... + ( x_n - m ) ^s )/ n

Pierwsza chwila o średniej

Pierwszy moment dotyczący średniej jest zawsze równy zero, bez względu na zbiór danych, z którym pracujemy. Widać to w następujący sposób:

m ₁= (( x ₁- m ) + ( x _dwa- m ) + ( x ₃- m ) + ... + ( x_n - m ))/ n = (( x ₁+ x _dwa+ x ₃+ ... + x_n ) - Nm )/ n = m - m = 0.

Druga chwila o średniej

Drugi moment o średniej uzyskuje się z powyższego wzoru przez ustawienie s = 2:

m _dwa= (( x ₁- m )^dwa+ ( x _dwa- m )^dwa+ ( x ₃- m )^dwa+ ... + ( x_n - m )^dwa)/ n

Ta formuła jest równoważna formule wariancji próbki.

Rozważmy na przykład zestaw 1, 3, 6, 10. Obliczyliśmy już średnią tego zestawu jako 5. Odejmij to od każdej wartości danych, aby uzyskać różnice:

• 1 – 5 = -4
• 3 – 5 = -2
• 6 – 5 = 1
• 10 – 5 = 5

Podnosimy do kwadratu każdą z tych wartości i dodajemy je do siebie: (-4)^dwa+ (-2)^dwa+ 1^dwa+ 5^dwa= 16 + 4 + 1 + 25 = 46. Na koniec podziel tę liczbę przez liczbę punktów danych: 46/4 = 11,5

Zastosowania momentów

Jak wspomniano powyżej, pierwszy moment to średnia, a drugi moment dotyczący średniej to próbkazmienność. Karl Pearson wprowadził użycie trzeciego momentu o średniej w obliczeniach skośność a czwarty moment o średniej w obliczeniach kurtoza .