Jak udowodnić regułę dopełniania w prawdopodobieństwie

C.K.Taylor

Kilka twierdzeń dotyczących prawdopodobieństwa można wydedukować z aksjomaty prawdopodobieństwa . Twierdzenia te można zastosować do obliczenia prawdopodobieństw, które chcielibyśmy poznać. Jeden z takich wyników jest znany jako reguła dopełnienia. To stwierdzenie pozwala nam obliczyć prawdopodobieństwo an wydarzenie A znając prawdopodobieństwo dopełnienia A ^C. Po ustaleniu reguły dopełnienia zobaczymy, jak można udowodnić ten wynik.

Zasada dopełnienia

Dopełnienie wydarzenia A jest oznaczony przez A ^C. Uzupełnieniem A jest ustawić wszystkich elementów w zbiorze uniwersalnym, lub przestrzeń próbki S, które nie są elementami zbioru A .

Reguła dopełnienia jest wyrażona następującym równaniem:

P( A ^C) = 1 – P( A )

Widzimy tutaj, że prawdopodobieństwo zdarzenia i prawdopodobieństwo jego dopełnienia muszą sumować się do 1.

Dowód Reguły Uzupełnienia

Aby udowodnić regułę dopełnienia, zaczynamy od aksjomatów prawdopodobieństwa. Te stwierdzenia są przyjmowane bez dowodu. Zobaczymy, że można je systematycznie wykorzystać do udowodnienia naszego twierdzenia o prawdopodobieństwie dopełnienia zdarzenia.

• Pierwszym aksjomatem prawdopodobieństwa jest to, że prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia jest nieujemne prawdziwy numer .
• Drugim aksjomatem prawdopodobieństwa jest to, że prawdopodobieństwo całej przestrzeni próbki S jest jeden. Symbolicznie piszemy P( S ) = 1.
• Trzeci aksjomat prawdopodobieństwa mówi, że If A oraz B wzajemnie się wykluczają (tzn. mają puste przecięcie), wtedy podajemy prawdopodobieństwo wystąpienia związek tych wydarzeń jako P( A W B ) = P( A ) + P( B ).

W przypadku reguły dopełnienia nie będziemy musieli używać pierwszego aksjomatu z powyższej listy.

Aby udowodnić nasze stwierdzenie, rozważamy wydarzenia A oraz A ^C. Z teorii mnogości wiemy, że te dwa zbiory mają puste przecięcie. Dzieje się tak, ponieważ element nie może jednocześnie znajdować się w obu A a nie w A . Ponieważ jest puste skrzyżowanie, te dwa zestawy są wzajemnie się wykluczające .

Związek dwóch wydarzeń A oraz A ^Csą również ważne. Stanowią one wyczerpujące wydarzenia, co oznacza, że unia tych zdarzeń to cała przestrzeń próbki S .

Te fakty w połączeniu z aksjomatami dają nam równanie

1 = P( S ) = P( A W A ^C) = P( A ) + P( A ^C) .

Pierwsza równość wynika z drugiego aksjomatu prawdopodobieństwa. Druga równość polega na tym, że wydarzenia A oraz A ^Csą wyczerpujące. Trzecia równość wynika z trzeciego aksjomatu prawdopodobieństwa.

Powyższe równanie można przestawić na formę, którą podaliśmy powyżej. Wszystko, co musimy zrobić, to odjąć prawdopodobieństwo A z obu stron równania. Zatem

1 = P( A ) + P( A ^C)

staje się równaniem

P( A ^C) = 1 – P( A ).

Oczywiście moglibyśmy również wyrazić regułę, stwierdzając, że:

P( A ) = 1 – P( A ^C).

Wszystkie trzy z tych równań są równoważnymi sposobami powiedzenia tego samego. Widzimy z tego dowodu, jak tylko dwa aksjomaty i pewna teoria mnogości pomagają nam udowodnić nowe twierdzenia dotyczące prawdopodobieństwa.