Zrozumienie równań równoważnych w algebrze

Praca z równoważnymi układami równań liniowych

Obrazy bohaterów / Obrazy Getty

Równania równoważne to układy równań, które mają te same rozwiązania. Identyfikowanie i rozwiązywanie równoważnych równań to cenna umiejętność, nie tylko w klasa algebry ale także w życiu codziennym. Spójrz na przykłady równoważnych równań, jak je rozwiązać dla jednej lub więcej zmiennych i jak możesz wykorzystać tę umiejętność poza salą lekcyjną.

Kluczowe dania na wynos

• Równania równoważne to równania algebraiczne, które mają identyczne rozwiązania lub pierwiastki.
• Dodanie lub odjęcie tej samej liczby lub wyrażenia po obu stronach równania daje równoważne równanie.
• Mnożenie lub dzielenie obu stron równania przez tę samą niezerową liczbę daje równoważne równanie.

Równania liniowe z jedną zmienną

Najprostsze przykłady równoważnych równań nie mają żadnych zmiennych. Na przykład te trzy równania są sobie równoważne:

• 3 + 2 = 5
• 4 + 1 = 5
• 5 + 0 = 5

Uznanie tych równań za równoważne jest świetne, ale nie jest szczególnie przydatne. Zwykle zadanie z równaniem równoważnym prosi o rozwiązanie dla zmiennej, aby sprawdzić, czy jest taka sama (ta sama źródło ) jak w innym równaniu.

Na przykład następujące równania są równoważne:

• x = 5
• -2x = -10

W obu przypadkach x = 5. Skąd to wiemy? Jak to rozwiązać dla równania '-2x = -10'? Pierwszym krokiem jest poznanie zasad równań równoważnych:

• Dodawanie lub odjęcie tej samej liczby lub wyrażenia po obu stronach równania daje równoważne równanie.
• Mnożenie lub dzielenie obu stron równania przez tę samą niezerową liczbę daje równoważne równanie.
• Podniesienie obu stron równania do ta sama dziwna moc lub wzięcie tego samego pierwiastka nieparzystego da równoważne równanie.
• Jeśli obie strony równania nie są negatywny , podniesienie obu stron równania do tej samej parzystej potęgi lub wzięcie tego samego parzystego pierwiastka da równoważne równanie.

Przykład

Wprowadzając te zasady w życie, ustal, czy te dwa równania są równoważne:

• x + 2 = 7
• 2x + 1 = 11

Aby rozwiązać ten problem, musisz znaleźć „x” dla każdego równanie . Jeśli 'x' jest takie samo dla obu równań, to są one równoważne. Jeśli „x” jest różne (tj. równania mają różne pierwiastki), to równania nie są równoważne. Dla pierwszego równania:

• x + 2 = 7
• x + 2 - 2 = 7 - 2 (odejmując obie strony tą samą liczbą)
• x = 5

Dla drugiego równania:

• 2x + 1 = 11
• 2x + 1 - 1 = 11 - 1 (odejmując obie strony tą samą liczbą)
• 2x = 10
• 2x/2 = 10/2 (dzieląc obie strony równania tą samą liczbą)
• x = 5

Tak więc, te dwa równania są równoważne, ponieważ x = 5 w każdym przypadku.

Praktyczne równania równoważne

Możesz używać równoważnych równań w życiu codziennym. Jest to szczególnie pomocne podczas zakupów. Na przykład lubisz konkretną koszulę. Jedna firma oferuje koszulę za 6 USD i ma wysyłkę 12 USD, podczas gdy inna oferuje koszulę za 7,50 USD i ma wysyłkę 9 USD. Która koszula ma najlepszą cenę? Ile koszul (może chcesz je kupić dla znajomych) musiałbyś kupić, aby cena była taka sama dla obu firm?

Aby rozwiązać ten problem, niech 'x' będzie liczbą koszulek. Na początek ustaw x =1 na zakup jednej koszuli. Dla firmy nr 1:

• Cena = 6x + 12 = (6)(1) + 12 = 6 + 12 = 18 USD

Dla firmy nr 2:

• Cena = 7,5x + 9 = (1)(7,5) + 9 = 7,5 + 9 = 16,50 USD

Tak więc, jeśli kupujesz jedną koszulę, druga firma oferuje lepszą ofertę.

Aby znaleźć punkt, w którym ceny są równe, niech „x” pozostanie liczbą koszulek, ale ustawmy te dwa równania na równe. Rozwiąż „x”, aby dowiedzieć się, ile koszulek musisz kupić:

• 6x + 12 = 7,5x + 9
• 6x - 7,5x = 9 - 12 ( odejmowanie te same liczby lub wyrażenia z każdej strony)
• -1,5x = -3
• 1,5x = 3 (dzieląc obie strony tą samą liczbą, -1)
• x = 3/1,5 (dzieląc obie strony przez 1,5)
• x = 2

Jeśli kupisz dwie koszule, cena jest taka sama, bez względu na to, gdzie ją otrzymasz. Możesz użyć tej samej matematyki, aby określić, która firma oferuje lepszą ofertę przy większych zamówieniach, a także obliczyć, ile zaoszczędzisz, korzystając z jednej firmy w stosunku do drugiej. Widzisz, algebra jest przydatna!

Równania równoważne z dwiema zmiennymi

Jeśli masz dwa równania i dwie niewiadome (x i y), możesz określić, czy dwa zestawy równań liniowych są równoważne.

Na przykład, jeśli masz równania:

• -3x + 12 lat = 15
• 7x - 10 lat = -2

Możesz określić, czy następujący system jest równoważny:

• -x + 4y = 5
• 7x -10 lat = -2

Do Rozwiąż ten problem , znajdź 'x' i 'y' dla każdego układu równań. Jeżeli wartości są takie same, to układy równań są równoważne.

Zacznij od pierwszego zestawu. Aby rozwiązać dwa równania z dwoma zmienne , wyizoluj jedną zmienną i podłącz jej rozwiązanie do drugiego równania. Aby wyizolować zmienną „y”:

• -3x + 12 lat = 15
• -3x = 15 - 12 lat
• x = -(15 - 12y)/3 = -5 + 4y (podstaw 'x' w drugim równaniu)
• 7x - 10 lat = -2
• 7(-5 + 4 lata) - 10 lat = -2
• -35 + 28 lat - 10 lat = -2
• 18 lat = 33
• r = 33/18 = 11/6

Teraz podłącz „y” z powrotem do dowolnego równania, aby znaleźć „x”:

• 7x - 10 lat = -2
• 7x = -2 + 10(11/6)

Przechodząc przez to, w końcu otrzymasz x = 7/3.

Aby odpowiedzieć na pytanie, ty mógłby zastosuj te same zasady do drugiego zestawu równań, aby rozwiązać „x” i „y”, aby stwierdzić, że tak, rzeczywiście są one równoważne. Łatwo ugrzęznąć w algebrze, więc dobrym pomysłem jest sprawdzenie swojej pracy za pomocą rozwiązywanie równań online .

Jednak sprytny uczeń zauważy, że dwa zestawy równań są równoważne bez wykonywania żadnych trudnych obliczeń. Jedyna różnica między pierwszym równaniem w każdym zestawie polega na tym, że pierwsze równa się trzy razy drugiemu (odpowiednik). Drugie równanie jest dokładnie takie samo.