Założycielskie problemy filozofii matematyki

Najprostsze pytania filozofii matematyki wskazują na głębokie kwestie: dlaczego 1+1 = 2? Dlaczego stwierdzenie „1+1 = 2” czuć tak bardzo różni się od stwierdzenia typu „wczoraj padało”? Zresztą, co w ogóle rozumiemy przez „1”, „2”, …? Czy istnieje „1”? Jeśli tak, to jak i gdzie? Te pytania były dostępne dla filozofów odkąd praktykowano matematykę. Są one, jak wiele pytań filozoficznych, bardzo ogólne i bardzo trudne do odpowiedzi – aby nadać sens stwierdzeniom typu „1+1 = 2”, wydaje się, że potrzeba dużo maszynerii filozoficznej, jak to miało miejsce w przypadku przednowoczesne wypady w filozofię matematyki. Od Platona, przez Leibniza, po Kanta, odpowiedzi na powyższe pytania prowadziły do ​​i stanowiły część większego systemu: filozofii matematyki.

Filozofia matematyki: od najprostszych do najbardziej złożonych pytań

Zarówno matematyka, jak i filozofia bardzo się zmieniły w niedługim czasie. Stare obawy wciąż kierują dociekaniami: filozofowie matematyki muszą ustalić, jaki rodzaj istnienia przysługuje przedmiotom takim jak „1” i „koło”, a jaki rodzaj prawdy twierdzeniom typu „1+1 = 2”. Ale współczesna matematyka zadaje filozofom nowe i niepokojące pytania i wskazuje na przedmioty, których naturę jest jeszcze trudniej określić. Te pytania przyniosły tak różnorodne i pozornie sprzeczne odpowiedzi, że filozofia matematyki może wydawać się dziwnym sportem, w którym jeden obiera jedną stronę i broni jej religijnie przed wszystkimi innymi. Należy zauważyć, że jest tak wiele „stron”, że nie można mieć nadziei na omówienie ich wszystkich w tak krótkim wprowadzeniu, jak to, które obecnie czytasz.

Nie znaczy to wcale, że filozofia matematyki cierpi na większą wielość opinii niż inne dziedziny filozofii. Jednak, aby wyczuć trudną sprawę filozoficznego myślenia o matematyce, najlepiej nie tracić z oczu matematycznych obaw, które kryją się za tymi różnymi szkołami. Ciekawą cechą filozofii matematyki jest tendencja, by prawdziwa matematyka, a nie tylko filozofia, wyrastała z dociekań filozoficznych, a także, by postęp matematyczny natykał się na głębokie, fundamentalne kwestie. Filozofia matematyki z jednej strony i metamatematyka (badanie podstaw matematyki przy użyciu technik matematycznych) z drugiej są dość bezpośrednio powiązane historycznie i każda z nich staje się coraz ważniejsza dla drugiej.

David Hilbert: Wielki projekt w (filozofii) matematyki

Przyjrzyjmy się łukowi historycznemu, który dotyka wielu kluczowych zagadnień filozofii matematyki, mikrokosmosowi wzajemnego oddziaływania czystej filozofii i czystej matematyki: projektowi matematyka Davida Hilberta, a w szczególności jego sporze z innym wpływowym myślicielem , LEJ Brouwera. Gdy czysta matematyka dojrzała w XIX wieku i natrafiła na coraz bardziej abstrakcyjne i nieintuicyjne pojęcia, zarówno matematycy, jak i filozofowie dostrzegli wyraźnie potrzebę poważnego zbadania podstaw tego przedmiotu. Wśród nich był Hilbert, główny gracz w dążeniu do stworzenia podstaw dla logicznego i solidnego tematu pod względem praktycznym. Miał nadzieję, że pogląd, że matematyka jest doskonałą, racjonalną nauką, podzielaną przez tak wielu filozofów, przełoży na coś konkretnego.

Myśl Hilberta była motywowana tym, co w jego czasach było głęboko nowoczesnym rozwojem matematyki. W szczególności chciał dać stały dom w matematyce pozaskończony . Praca Bolzano oraz Kantor w teorii mnogości (zbiór będący naiwnie po prostu zbiorem rzeczy zorganizowanych pod etykietą) poważnie i rygorystycznie zajmował się ideą rzeczywista nieskończoność; to znaczy, że nieskończonym przedmiotom przyznaje się własne istnienie. Na przykład zbiór wszystko liczby całkowite {1, 2, …} jako obiekt sam w sobie jest rzeczywistą nieskończonością; z drugiej strony, mając do czynienia tylko z arbitralnie dużymi liczbami, wystarczy tylko pojęcie potencjalna nieskończona, które przez wieki znajdowały się w ontologicznej skrzynce matematyków. Filozofowie wszystkich epok rysowali to rozróżnienie – pojęcie rzeczywistej nieskończoności nie było nowe. Niemniej jednak Cantor po raz pierwszy wyciągnął jej implikacje w teorii mnogości. Kluczem było proste przemyślenie pojęcia liczby.

Zestawy, liczenie i nieskończoność

Nasz codzienny pomysł na rozmiar zestawu sprowadza się do prostego liczenia: mając dwie kolekcje rzeczy, możemy stwierdzić, czy są tej samej wielkości, licząc rzeczy w każdej kolekcji i porównując odpowiedzi – ja mam trzy jabłka, ty masz trzy banany. Cantor wwiercił się w pojęcie „bycia takim samym rozmiarem jak” i wyabstrahował pojęcie wzajemna korespondencja: zestawy są tego samego rozmiaru, jeśli można połączyć ich elementy w pary – jeśli do każdego z Twoich bananów mogę przypisać dokładnie jedno z moich jabłek. Ale dzięki tej prostej abstrakcji otrzymujemy za darmo sposób na mówienie o „rozmiarze” nieskończonych zbiorów: możemy nazwać dwie nieskończone kolekcje tym samym rozmiarem, jeśli możemy umieścić je w takiej korespondencji jeden do jednego. Jak się okazuje, istnieją nieskończone zbiory, których nie można w ten sposób powiązać jeden do jednego. Zdarza się na przykład „więcej” liczby rzeczywiste (czyli cała oś liczbowa – nieskończone liczby dziesiętne i wszystkie) niż liczby całkowite, mimo że oba zbiory są nieskończone.

Twierdzenie Cantora: nieskończone nieskończoności

Robi się dziwniej – Twierdzenie Cantora mówi nam w istocie, że istnieją dużo różnych nieskończoności: w rzeczywistości nieskończenie wiele, a biorąc pod uwagę każdą nieskończoną kolekcję, zawsze istnieje większa. Ten nowy sposób radzenia sobie z pojęciem liczby doprowadził do badania kardynałowie, które są w pewnym sensie radykalnym rozszerzeniem liczenia, które pozwala nam mówić o wszelkich rzeczywistych nieskończonościach.

Te dziwne zjawiska prowadzą do tego, że wielu czołowych matematyków zdecydowanie odpiera tę nową, rzeczywistą nieskończoność, na przykład Henri Poincaré, który oświadczył, że „Nie ma rzeczywistej nieskończoności, kantorzy o tym zapomnieli i popadli w sprzeczność”. Idee Cantora, choć obecnie niemal wszechobecne w matematyce, początkowo wcale nie były popularne.

Ale dla niektórych – wśród nich Hilberta – to zerwanie z skończonością było wielkim zwycięstwem swobodnego rozwoju matematyki. Dla Hilberta matematyczna poprawność nieskończoności Cantora była sprawą wielkiej wagi estetycznej, co można wywnioskować z jego słynnego cytatu: „F z raju, który stworzył dla nas Kantor, nikt nie będzie mógł nas wypędzić ”.

Realizm matematyczny a formalizm matematyczny

Różnice w perspektywach filozofii matematyki mogą być częściowo kalibrowane przez postawy wobec tych nowych nieskończoności. Pogląd Hilberta stawia go wprost w opozycji do innego wybitnego myśliciela, L.E.J. Brouwera, prowadząc do niesławnej rywalizacji filozoficznej.

Hilbert postrzegał matematykę jako rodzaj gry, zajmującej się wyłącznie manipulowaniem symbolami zgodnie z pewnymi regułami, pogląd znany jako formalizm . Pogląd ten niekoniecznie zabrania interpretacji tej „gry w formuły” jako w taki czy inny sposób związanej z rzeczywistością, ale w swojej podstawowej formie wymaga raczej mniejszego zaangażowania w problematyczne matematyczne „byty” niż starsze formy realizm matematyczny , Jak na przykład platonizm (widok randki, naturalnie, z powrotem do Danie , który utrzymuje, że obiekty matematyczne, takie jak „1” i „koło”, naprawdę istnieją jako obiekty trwałe w sposób, który jest niezależny od nas i naszego ich rozumienia). Brouwer rozumiał matematykę w trzeci sposób, radykalnie odmienny od obu tych perspektyw.

Jednym z bardziej znanych twierdzeń Hilberta i sednem głębokiej niezgody między nim a Brouwerem jest jego tzw. Twierdzenie o podstawie . Drobniejsze szczegóły są nieistotne: to, co było interesujące dla filozofów i budzące zastrzeżenia dla Brouwera, to sposób, w jaki Hilbert to udowodnił. Twierdzenie Hilberta o podstawie jest twierdzenie o istnieniu – przyjmuje formę ‘ jest co najmniej jeden X”. Matematycy, którzy mają za zadanie pokazać, że „jest co najmniej jeden X”, mogą przyjąć jedno z dwóch podejść: muszą albo pokazać, jak znaleźć takie X, albo pokazać, że jest niemożliwy że nie ma takiego X. Dowody pierwszego rodzaju nazywane są konstruktywny , a dowody drugiego rodzaju nazywane są niekonstruktywne. Dowód twierdzenia o podstawie Hilberta był niekonstruktywny. Brouwer podjął problem: założył i z pasją bronił podejścia do filozofii matematycznej znanego jako intuicjonizm .

Intuicjonizm i konstruktywizm

Intuicjonista odmawia uznania obiektów matematycznych za rzeczy, które nie zostały skonstruowane przez aktywność umysłu. Dla Brouwera niekonstruktywne techniki dowodowe w rodzaju stosowanych przez Hilberta były poważnym problemem. Szersza szkoła filozofii matematycznej, która odrzuca te niekonstruktywne dowody, jest znana jako konstruktywizm . Konstruktywiści często odrzucają istnienie rzeczywistej nieskończoności w matematyce, która jako niezależny pogląd jest znana jako skończoność (wraz ze swoim raczej marginesowym kuzynem, ultraskończoność , który odrzuca nawet skończone obiekty, które są „zbyt duże, aby można je było rozsądnie skonstruować”). Hilbert i Brouwer zaproponowali więc nie tylko różne spojrzenia na rzeczywistość i ważność obiektów matematycznych, ale także radykalnie różne sposoby uprawiania matematyki.

Oba zrodziły nowe badania w samej logice matematycznej: logika intuicjonistyczna bada systemy logiczne bez prawa wyłączonego środka i jest do dziś aktywnym polem badań. Co gorsza jednak, wczesne formalistyczne podejście Hilberta miało jako optymistyczny cel stworzenie systemu aksjomatycznego (aksjomaty będące twierdzeniami początkowymi zawsze zakładano, że są prawdziwe), z którego można wyprowadzić całą matematykę i który sam w sobie byłby wolny od sprzeczności. Pojęcia te – odpowiednio nazywane kompletność oraz spójność w logice matematycznej – obydwie te kwestie wydawały się całkowicie sensowne, aby poprosić o wybrane przez siebie podstawy matematyczne.

W 1900 Hilbert opublikował listę 23 problemów, które uważał za przełomowe w ówczesnej matematyce. Drugim na liście było pokazanie, że jego aksjomaty arytmetyki są spójne. Ten system aksjomatów oferował zwykłe podstawowe struktury arytmetyczne, które znamy – liczby, dodawanie, odejmowanie itd. – i, jak miano nadzieję, był wystarczająco potężny, aby sformalizować resztę matematyki.

Twierdzenie Gödla o niezupełności: kłopoty w raju

Niesławne obecnie dwa twierdzenia o niezupełności Kurta Gödla kładą kres bardziej rozgwieżdżonym interpretacjom projektu Hilberta, pokazując, że Nie system aksjomatów zawierający arytmetykę może dowieść własnej spójności. Są to precyzyjne i subtelne twierdzenia logiczne, a filozofowie ostrożnie rozważali ich konsekwencje dla realizmu matematycznego (sam Gödel był nadal zaangażowanym platonistą).

Chociaż program Hilberta nie był koniecznie w całkowitym bezruchu po Gödle, twierdzenia te były przełomowym momentem dla logiki matematycznej – i od tego czasu są przedmiotem niekończącej się dyskusji filozoficznej. Podejście Hilberta nie było ani pierwszym, ani ostatnim słowem na temat aksjomatycznych podstaw matematyki. Istniało wiele wielkich projektów.

Frege, a później Russell, prowadzili logik podejście, którego celem było zredukowanie twierdzeń matematycznych do twierdzeń logicznych. Russell znalazł w podejściu Fregego poważną kwestię – jeden z jego aksjomatów, który polegał na umożliwieniu stworzenia zbioru przez wywołanie zbioru wszystkich rzeczy spełniających daną własność, popadł w sprzeczność, obecnie znaną jako Paradoks Russella: że zbiór wszystkich zbiorów nie zawierających siebie, nonsensowny byt, jest dozwolony przez to prawo. Z kolei twierdzenia Gödla wydawały się hamować ambicje logiki samego Russella, a matematycy zwrócili się ku mniej ambitnym podejściom. Zarówno Frege, jak i Russell byli integralną częścią wczesnego rozwoju Ludwig Wittgenstein , których praca ma szeroki zakres dalszych implikacji dla filozofii matematyki, w tym status logiki i ich związek z językiem naturalnym.

Stare pytania, nowe pytania: przyszłość filozofii matematyki

W końcu znaleziono robocze rozwiązanie problemu aksjomatyzacji teorii mnogości w postaci aksjomatów Zermelo-Fraenkla (wraz z aksjomatem wyboru, historycznie kontrowersyjnym, choć dziś mniej kontrowersyjnym)… W praktyce ta ontologia – zawierająca jedynie jeden obiekt, a ustawić , z którego wszystko jest zbudowane – jest dzisiaj „domyślnym” dla matematyków (choć bynajmniej nie jedynym wyborem).

Teoria mnogości Zermelo-Fraenkla leży na całej drodze od filozoficznej spekulacji do konkretnej wiedzy matematycznej – teraz sama jest obiektem matematycznym badanym przez logików. Ale tak jak pojęcie Cantora o ustawić zakwestionował sposób, w jaki filozofowie myślą o matematyce, więc nowsze abstrakcje zaczynają robić to samo, w miarę pojawiania się i znikania nowych fundamentalnych podejść. Nie tylko stare pytania są wciąż świeże, ale nowe pytania wyłaniają się z nowych idei w matematyce, nie przestając angażować filozofów w zajęcie, w miarę pogłębiania się wzajemnego oddziaływania filozofii i matematyki.