Wyjaśnienie paradoksu Bertranda Russella

Bertrand Russell, jeden z najbardziej wpływowych matematyków, logików i filozofów XX wieku, nadaje swoje imię jednemu z najbardziej znanych i wpływowych paradoksów logicznych okresu nowożytnego. Podczas gdy niektóre ze starożytnych paradoksów, najsłynniejsze te opracowane przez Zenona, dotyczą problemów logiki lub rozumowania jako takiego, paradoks Russella jest problemem dla bardziej ograniczonego zbioru teorii w logice, w szczególności tych, które są znane jako „zbiór naiwny”. teorie'. W tym artykule przyjrzymy się temu paradoksowi, kontekstowi historycznemu, w którym się pojawił, oraz jego konsekwencjom dla filozofii i logiki.

Przedstawiamy paradoks Russella

Jak już wspomnieliśmy, paradoks Russella dotyczy naiwnej teorii mnogości. „Naiwny” nie jest tutaj pejoratywny, ale służy jedynie do odróżnienia ich od teorii aksjomatycznych (które poprzedzają aksjomaty zdefiniowane w logice formalnej). Logika formalna odnosi się tutaj do wszelkich prób zbadania argumentów i rozumowania, które polegają na oddaniu ich w językach formalnych, które są sztuczne i stworzone specjalnie w celu studiowania rozumowania i argumentów. Kontrastuje to z logiką nieformalną, która bada argumenty i rozumowanie, koncentrując się na językach naturalnych, takich jak angielski.

Naiwne teorie mnogości zaczynają się od nieformalnych definicji; te, które znajdujemy w językach naturalnych, a nie formalne języki logiczne, które wymyślają dla siebie matematycy lub logicy (filozofowie zajmujący się logiką).

Sedno paradoksu

Sedno paradoksu dotyczy zbiorów, które wydają się być zarówno członkami samych siebie, jak i nie członkami samych siebie. Zamiast przedstawiać paradoks w sposób, w jaki myślą o nim matematycy i logicy, możemy zacząć od zbadania bardziej nieformalnego przykładu.

Rozważ paradoks fryzjera: wyobraź sobie fryzjera, który goli wszystkich mężczyzn w wiosce, którzy się nie golą, i tylko tych mężczyzn, którzy się nie golą. Czy fryzjer sam się goli? Jeśli powiemy „nie”, to w tej wiosce jest to człowiek, który się nie goli, więc kto musi go ogolić? Fryzjer! Ale on jest fryzjerem, więc jest robi właściwie się ogolić. Jeśli powiemy „tak”, to jest to człowiek, który się goli, więc nie może go ogolić fryzjer, ale to znaczy, że tak naprawdę nie ogolić się i tak dalej.

Może się to wydawać nieszkodliwą ciekawostką dotyczącą naturalnej ekspresji i może się wydawać, że rozwiązaniem problemu jest po prostu odpowiedź: „taki fryzjer nie może istnieć”. Paradoks ten nie jest jednak nieszkodliwy dla logików i matematyków. W rzeczywistości, chociaż niektóre implikacje paradoksu są nadal kwestionowane. Bezpośrednie konsekwencje obejmowały odkrycie poważnej luki w najbardziej obiecujących próbach wspierania matematyki przy użyciu logiki formalnej.

Paradoks Russella, projekt Frege'a

Bertrand Russell szeroko rozwinął paradoks Russella w odpowiedzi na prace Gottloba Frege, niemieckiego matematyka, logika i filozofa. Konkretnie, Russell podniósł paradoks jako odpowiedź na koncepcję zbiorów zastosowaną przez Fregego w artykulacji jego ogólnego, trwającego całe życie projektu, który był próbą wykazania, że ​​matematykę można zredukować do logiki.

Nie ma tu miejsca na omówienie dokładnej funkcji zbioru w całym projekcie Fregego, ale możemy zwięźle podsumować jego teorię zbiorów w następujący sposób. Dla Fregego zbiory odpowiadają w stosunku jeden do jednego właściwościami. Każdej właściwości odpowiada zestaw rzeczy, które mają tę właściwość. Na przykład zestaw odpowiadający właściwości „bycia zwycięzcą Złotej Piłki Mężczyzn 2021” miałby jednego członka, a mianowicie Lionela Messiego. To, o czym musimy pamiętać, jeśli chodzi o rozwój tej teorii, to to, że przestrzega ona tego, co stało się znane jako „zasada nieograniczonego rozumienia”. Mówiąc prościej, zasada ta utrzymuje, że dla każdej własności istnieje zbiór wszystko oraz tylko przedmioty, które mają tę właściwość.

Wyrafinowane zestawy

Nie wszystkie zbiory są tak proste, jak przykłady, o których właśnie wspomnieliśmy, i ważne jest, aby zwrócić uwagę na niektóre kwestie filozoficzne związane z tą koncepcją zbiorów. Rozważmy pytanie, co zawiera zbiór odpowiadający właściwości bycia czerwonym, czyli zbiór zawierający wszystkie rzeczy czerwone. Nie ma nieskończenie wielu rzeczy we wszechświecie, więc zbiór nie jest nieskończenie duży. Jest to hipotetyczne, biorąc pod uwagę, że nie wiemy o każdej czerwonej rzeczy i możemy nawet w zasadzie nie wiedzieć o każdej czerwonej rzeczy. Czy taki zestaw jest do pomyślenia? Czy to jest do wyobrażenia?

Nasza teoria koloru jest z pewnością czynnikiem. To, jak pojmujemy ten zestaw, jeśli potrafimy to sobie wyobrazić, z pewnością będzie zależeć od tego, czy jakość bycia czerwonym jest określona przez fakty dotyczące ludzkiego języka, ludzkiej percepcji lub innych zdolności „poznawczych”, czy też czerwień jest właściwością naturalną. Rzeczywiście, takie odróżnienie języka od poznania od natury byłoby dla wielu filozofów niedopuszczalne. Kiedy próbujemy scharakteryzować zbiory i właściwości w ten sposób, mogą pojawić się coraz subtelniejsze argumenty.

Niemożliwe właściwości

Bez względu na problemy z teorią mnogości Fregego unika ona problemów, z którymi borykają się inne teorie mnogości, aw każdym razie ma ważną rolę do odegrania w ogólnej teorii mnogości Fregego. Na czym więc polegał problem, jaki Russell przedstawił teorii Fregego? Odwróciło się od pojęcia zbiorów, które są członkami samych siebie, i możliwej sprzeczności, jaką stwarzały dla sposobu myślenia Fregego o zbiorach.

Jeśli uznamy „niebycie członkiem samego siebie” za własność, to pojawia się pytanie: czy zbiór wszystkich zbiorów, które nie są członkami samych siebie (który możemy nazwać A ), członkiem samego siebie? Jeśli odpowiemy „tak”, twierdzimy, że tak jest A jest członkiem samego siebie, ale oczywiście nie ma to sensu, ponieważ wtedy z definicji nie jest członkiem samego siebie. Podobnie, jeśli odpowiemy „nie”, to również nie ma sensu, ponieważ jest wtedy z definicji członkiem samego siebie.

Problem klas kompleksowych

Istnieje powiązany problem dotyczący zajęć kompleksowych. Russell przedstawia tę kwestię w następujący sposób: „Klasa wszechstronna, którą rozważamy, która ma obejmować wszystko, musi przyjąć siebie jako jednego ze swoich członków. Innymi słowy, jeśli istnieje coś takiego jak „wszystko”, to „wszystko” jest czymś i należy do klasy „wszystko”. Ale zwykle klasa nie jest członkiem samej siebie. Ludzkość, na przykład, nie jest człowiekiem. Utwórzcie teraz zbiór wszystkich klas, które nie są członkami samych siebie. To jest klasa: czy jest członkiem samej siebie, czy nie? Jeśli tak, to jest to jedna z tych klas, które nie są członkami samych siebie, tj. nie są członkami samych siebie. Jeśli tak nie jest, to nie jest jedną z tych klas, które nie są członkami samych siebie, tj. jest członkiem samej siebie. Tak więc z dwóch hipotez – że jest i nie jest członkiem samego siebie – każda implikuje swoją sprzeczność. To sprzeczność”.

Słowo o Frege

Zanim przejdziemy dalej, warto wtrącić słowo za Zapytał zarówno jako filozof, jak i jako człowiek. Projekt Frege'a, by sprowadzić matematykę do logiki, był niewątpliwie nieudany. Jednak Frege był daleki od filozoficznej porażki. W ciągu ostatniego stulecia udowodnił, że jest jednym z najważniejszych, jeśli nie najważniejszym, filozofów logiki, matematyki i języka.

Michael Dummett, wybitny filozof sam w sobie, uważa, że ​​cała filozofia „analityczna”, dominujący nurt praktykowany na anglojęzycznych uniwersytetach, naprawdę powinna być nazywana „filozofią postfregańską”, tak wpływowy był Frege na przebieg jej rozwój. Russell zwrócił uwagę Fregego na ten paradoks, podobnie jak drugie wydanie Fregego Podstawowe prawa arytmetyki szedł do prasy.

Wielkoduszność Fregego

Frege był znany ze swojej uprzejmości i poczucia koleżeńskiego obowiązku. Odpowiada on m.in Ludwiga Wittgensteina podjął decyzję o pracy z Russellem w Cambridge. Ten paradoks, jak Frege musiał wiedzieć, groził podważeniem nie tylko całej jego książki, ale także projektu, któremu poświęcił całe swoje twórcze życie. Warto podkreślić, jak zdumiewająco wielkoduszna była odpowiedź Fregego, którą sam Bertrand Russell tak opisał:

„Dzieło całego jego życia było bliskie ukończenia, wiele z jego prac zostało zignorowanych z korzyścią dla ludzi nieskończenie mniej zdolnych, jego drugi tom miał zostać opublikowany, a gdy stwierdził, że jego fundamentalne założenie było błędne, odpowiedział: z intelektualną przyjemnością wyraźnie zatapiając wszelkie uczucia osobistego rozczarowania. Było to niemal nadludzkie i wymowne wskazanie tego, do czego zdolni są ludzie, jeśli ich poświęcenie polega na twórczej pracy i wiedzy, zamiast na prymitywnych wysiłkach dominacji i bycia znanym”. Trudno żałować ciągłego znaczenia intelektualnego i pozycji takiej osoby wśród współczesnych filozofów .

Znaczenie paradoksu Russella: ze sprzeczności możemy wywnioskować wszystko!

Znaczenie paradoksu Russella można odczuć, gdy sobie to uświadomimy byle co wynika ze sprzeczności, która na pierwszy rzut oka nie jest oczywista. Trudno to tutaj zademonstrować, ale postępuj zgodnie z tymi podstawowymi ramami z logiki klasycznej:

Jeśli istnieje sprzeczność, to jest to samo, co powiedzenie tego P , a jednocześnie nie- P, gdzie P jest dowolnym zdaniem o wartości logicznej. P może być na przykład zdanie: „Frege jest logikiem”. Sprzecznością jest stwierdzenie zarówno „Frege jest logikiem”, jak i „Frege nie jest logikiem”. Jeśli założymy jedno i drugie P i nie- P, możemy z tego wynikać dowolne zdanie w następujący sposób:

Jeśli P jest prawdą, to koniecznie prawdą jest, że jeden z P lub Q (jakieś inne zdanie) są prawdziwe; w końcu wiemy P jest już prawdą, więc nawet jeśli Q jest fałszywe, jedno z dwóch zdań jest prawdziwe, więc jedno z P lub Q jest prawdziwy. Ale biorąc pod uwagę, że zakładamy również, że nie- P jest prawdziwe i pokazaliśmy, że jeden z P lub Q jest prawdą, musimy to powiedzieć Q jest prawdziwy. To szaleństwo i nie może się zdarzyć! Nie mamy pojęcia co Q jest; mogłoby to być zdanie całkowicie bezsensowne lub całkowicie nieprawdopodobne, a jednak musielibyśmy powiedzieć, że jest ono prawdziwe zgodnie z najbardziej podstawowymi prawami logiki. Taka jest siła sprzeczności.

Wiarygodne odpowiedzi na paradoks Russella

Zaproponowano szereg odpowiedzi na paradoks Russella. Jedno z bardziej naturalnych rozwiązań zaproponował sam Russell. Własna odpowiedź Russella, opracowana wraz z AN Whiteheadem, ma na celu uniknięcie paradoksu poprzez uporządkowanie wszystkich zdań w rodzaj hierarchii i utrzymywanie, że możliwe jest odniesienie się do wszystkich obiektów w danych warunkach tylko wtedy, gdy są one tego samego poziomu lub typu . Deklarowanym celem jest uniknięcie tak zwanych „błędnych kół”, które wynikają z tego, co opisują jako „zbiór obiektów może zawierać elementy, które można zdefiniować tylko za pomocą zbioru jako całości”.

Ta ogólna strategia wynika z poglądu, że żadna funkcja nie może być zastosowana do obiektów, które zakładają samą funkcję. Stanowi to zatem rodzaj hierarchii działań, która pozwala nam zachować to, co użyteczne w pojęciu zbioru. Nie jest to jedyne rozsądne podejście. Dawida Hilberta , na przykład, przyjmuje tak zwany pogląd „formalistyczny”, który opowiada się za używaniem tylko skończonych, dobrze zdefiniowanych obiektów. Ostatnie podejście, podejście „intuicjonistyczne”, opracowane przez Luitzena Browera , utrzymuje, że nie można stwierdzić, że obiekt matematyczny istnieje, jeśli nie można opisać procedury, za pomocą której można go skonstruować.