Strategia LIPET integracji przez części

Westend61 / Getty Image

Integracja przez części jest jedną z wielu technik integracji stosowanych w rachunek różniczkowy . Ta metoda integracji może być traktowana jako sposób na cofnięcie reguła produktu . Jedną z trudności w stosowaniu tej metody jest określenie, jaka funkcja w naszym integrandzie powinna być dopasowana do której części. Akronim LIPET może być użyty do dostarczenia wskazówek, jak podzielić części naszej całki.

Integracja przez części

Przypomnij sobie metodę całkowania przez części. Wzór dla tej metody to:

w d w = uv - w d w .

Ten wzór pokazuje, którą część całki ustawić jako w, i którą część ustawić na d w . LIPET to narzędzie, które może nam w tym pomóc.

Akronim LIPET

Słowo LIPET to an akronim , co oznacza, że ​​każda litera oznacza słowo. W tym przypadku litery reprezentują różne rodzaje funkcji. Te identyfikatory to:

• L = funkcja logarytmiczna
• I = odwrotna funkcja trygonometryczna
• P = Funkcja wielomianu
• E = funkcja wykładnicza
• T = funkcja trygonometryczna

Daje to systematyczną listę tego, co należy próbować ustawić jako równe w w formule całkowania przez części. Jeśli istnieje funkcja logarytmiczna, spróbuj ustawić ją na w , z resztą całki równej d w . Jeśli nie ma funkcji logarytmicznych lub funkcji odwrotnych trygonometrycznych, spróbuj ustawić wielomian równy w . Poniższe przykłady pomagają wyjaśnić użycie tego akronimu.

Przykład 1

Rozważ ∫ x ja x d x . Ponieważ istnieje funkcja logarytmiczna, ustaw tę funkcję na w = ln x . Reszta całki to d w = x d x . Wynika z tego, że d w = d x / x i to w = x ^dwa/dwa.

Ten wniosek można było znaleźć metodą prób i błędów. Inną opcją byłoby ustawienie w = x . Tak więc d w byłoby bardzo łatwe do obliczenia. Problem pojawia się, gdy patrzymy na d w = ln x . Zintegruj tę funkcję, aby określić w . Niestety jest to bardzo trudna do obliczenia całka.

Przykład 2

Rozważmy całkę ∫ x sałata x d x . Zacznij od dwóch pierwszych liter w LIPET. Nie ma funkcji logarytmicznych ani odwrotnych funkcji trygonometrycznych. Kolejna litera w LIPET, a P, oznacza wielomiany. Ponieważ funkcja x jest wielomianem, zestaw w = x i d w = cos x .

Jest to właściwy wybór dla integracji przez części jako d w = d x oraz w = bez x . Całka staje się:

x bez x - ∫ bez x d x .

Uzyskaj całkę poprzez prostą integrację grzechu x .

Kiedy LIPET zawodzi

W niektórych przypadkach LIPET zawodzi, co wymaga ustawienia w równa funkcji innej niż określona przez LIPET. Z tego powodu ten akronim powinien być traktowany tylko jako sposób na uporządkowanie myśli. Akronim LIPET dostarcza nam również zarys strategii, którą należy wypróbować podczas korzystania z integracji przez części. Nie jest to matematyczne twierdzenie lub zasada, która zawsze jest sposobem na rozwiązanie problemu całkowania przez części.