Rozwiązywanie funkcji wykładniczych: znajdowanie pierwotnej kwoty

fpm, Getty Images

Funkcje wykładnicze opowiadają historię gwałtownych zmian. Dwa rodzaje funkcji wykładniczych to wykładniczy wzrost oraz wykładniczy rozpad . Cztery zmienne – zmiana procentowa, czas, kwota na początku okresu i kwota na końcu okresu – odgrywają role w funkcjach wykładniczych. Ten artykuł skupia się na tym, jak znaleźć kwotę na początku okresu, a .

Wzrost wykładniczy

Wzrost wykładniczy: zmiana, która następuje, gdy pierwotna kwota jest zwiększana o stałą stopę przez pewien okres

Wykładniczy wzrost w prawdziwym życiu:

• Wartości cen mieszkań
• Wartości inwestycji
• Zwiększone członkostwo w popularnym serwisie społecznościowym

Oto wykładnicza funkcja wzrostu:

Tak = a( 1 + b)^x

• Tak : Ostateczna kwota pozostała przez pewien czas
• a : Oryginalna kwota
• x : Czas
• The czynnik wzrostu jest (1 + b ).
• Zmienna, b , to zmiana procentowa w postaci dziesiętnej.

Rozpad wykładniczy

Spadek wykładniczy: zmiana, która występuje, gdy pierwotna kwota jest zmniejszana o stałą stopę przez pewien okres

Rozkład wykładniczy w prawdziwym życiu:

• Spadek czytelnictwa gazet
• Spadek udarów w USA
• Liczba osób pozostających w mieście dotkniętym huraganem

Oto funkcja zaniku wykładniczego:

Tak = a( 1 -b)^x

• Tak : Ostateczna kwota pozostała po rozpadzie przez pewien czas
• a : Oryginalna kwota
• x : Czas
• The współczynnik rozpadu jest (1- b ).
• Zmienna, b , to procentowy spadek w postaci dziesiętnej.

Cel znalezienia pierwotnej kwoty

Za sześć lat być może zechcesz kontynuować studia licencjackie na Dream University. Z ceną 120 000 dolarów Dream University przywołuje finansowe nocne terrory. Po nieprzespanych nocach spotykacie się z mamą i tatą z planistą finansowym. Przekrwione oczy Twoich rodziców rozjaśniają się, gdy planista ujawnia inwestycję o 8% stopie wzrostu, która może pomóc Twojej rodzinie osiągnąć cel 120 000 USD. Ucz się ciężko. Jeśli ty i twoi rodzice zainwestujecie dzisiaj 75 620,36 dolarów, Dream University stanie się waszą rzeczywistością.

Jak rozwiązać pierwotną wartość funkcji wykładniczej?

Ta funkcja opisuje wykładniczy wzrost inwestycji:

120 000 = a (1 +.08)⁶

• 120 000: Ostateczna kwota pozostała po 6 latach
• .08: Roczna stopa wzrostu
• 6: Liczba lat na rozwój inwestycji
• a : Początkowa kwota, jaką zainwestowała Twoja rodzina

Wskazówka : Dzięki symetrycznej własności równości, 120 000 = a (1 +.08)⁶jest taki sam jak a (1 +.08)⁶= 120 000. (Symetryczna własność równości: Jeśli 10 + 5 = 15, to 15 = 10 +5.)

Jeśli wolisz przepisać równanie ze stałą 120 000 po prawej stronie równania, zrób to.

a (1 +.08)⁶= 120 000

To prawda, że ​​równanie nie wygląda jak równanie liniowe (6 a = 120 000 $), ale można to rozwiązać. Zostać przy tym!

a (1 +.08)⁶= 120 000

Bądź ostrożny: nie rozwiązuj tego równania wykładniczego, dzieląc 120 000 przez 6. To kusząca matematyka, nie, nie.

1. Użyj Kolejność operacji ułatwiać.

a (1 +.08)⁶= 120 000

a (1.08)⁶= 120 000 (nawiasy)

a (1.586874323) = 120 000 (wykładnik)

2. Rozwiąż dzieląc

a (1,586874323) = 120 000

a (1.586874323)/(1.586874323) = 120 000/(1.586874323)

1 a = 75 620,35523

a = 75 620,35523

Pierwotna kwota lub kwota, którą Twoja rodzina powinna zainwestować, wynosi około 75 620,36 USD.

3. Freeze - jeszcze nie skończyłeś. Użyj kolejności operacji, aby sprawdzić swoją odpowiedź.

120 000 = a (1 +.08)⁶

120 000 = 75 620 35523 (1 + .08)⁶

120 000 = 75 620 35523 (1,08)⁶(Nawias)

120 000 = 75 620 35523 (1,586874323) (wykładnik)

120 000 = 120 000 (mnożenie)

Ćwiczenia praktyczne: odpowiedzi i wyjaśnienia

Oto przykłady, jak obliczyć pierwotną kwotę, biorąc pod uwagę funkcję wykładniczą:

84 = a (1+.31)⁷
Użyj kolejności operacji, aby uprościć.
84 = a (1.31)⁷(Nawias)
84 = a (6.620626219) (Wykładnik)
Dziel do rozwiązania.
84/6.620626219 = a (6.620626219)/6.620626219
12.68762157 = 1 a
12.68762157 = a
Użyj kolejności operacji, aby sprawdzić swoją odpowiedź.
84 = 12.68762157 (1,31)⁷(Nawias)
84 = 12.68762157(6.620626219) (Wykładnik)
84 = 84 (Mnożenie) a (1 – 0,65)³= 56
Użyj kolejności operacji, aby uprościć.
a (.35)³= 56 (nawiasy)
a (0,042875) = 56 (wykładnik)
Dziel do rozwiązania.
a (.042875)/.042875 = 56/.042875
a = 1 306.122449
Użyj kolejności operacji, aby sprawdzić swoją odpowiedź.
a (1 – 0,65)³= 56
1 306.122449(.35)³= 56 (nawiasy)
1,306,122449(0,042875) = 56 (wykładnik)
56 = 56 (pomnóż) a (1 + 0,10)⁵= 100 000
Użyj kolejności operacji, aby uprościć.
a (1.10)⁵= 100 000 (nawiasy)
a (1.61051) = 100 000 (wykładnik)
Dziel do rozwiązania.
a (1,61051)/1,61051 = 100 000/1,61051
a = 62 092,13231
Użyj kolejności operacji, aby sprawdzić swoją odpowiedź.
62,092.13231(1 + 0,10)⁵= 100 000
62.092.13231(1.10)⁵= 100 000 (nawiasy)
62 092.13231 (1,61051) = 100 000 (wykładnik)
100 000 = 100 000 (pomnóż)8200 = a (1.20)^piętnaście
Użyj kolejności operacji, aby uprościć.
8200 = a (1.20)^piętnaście(Wykładnik potęgowy)
8200 = a (15.40702157)
Dziel do rozwiązania.
8200/15,40702157 = a (15.40702157)/15.40702157
532,2248665 = 1 a
532.2248665 = a
Użyj kolejności operacji, aby sprawdzić swoją odpowiedź.
8200 = 532,2248665 (1,20)^piętnaście
8200 = 532,2248665 (15,40702157) (wykładnik wykładniczy)
8200 = 8200 (Cóż, 8199,9999...Tylko mały błąd zaokrąglenia.) (Pomnóż.) a (1 – 0,33)^dwa= 1000
Użyj kolejności operacji, aby uprościć.
a (.67)^dwa= 1000 (nawiasy)
a (.4489) = 1000 (wykładnik)
Dziel do rozwiązania.
a (0,4489)/0,4489 = 1000/0,4489
1 a = 2227,667632
a = 2227,667632
Użyj kolejności operacji, aby sprawdzić swoją odpowiedź.
2227,667632 (1 - 0,33)^dwa= 1000
2227,667632(0,67)^dwa= 1000 (nawiasy)
2227,667632 (0,4489) = 1000 (wykładnik)
1000 = 1000 (pomnóż) a (.25)⁴= 750
Użyj kolejności operacji, aby uprościć.
a (.00390625)= 750 (wykładnik)
Dziel do rozwiązania.
a (.00390625)/00390625= 750/.00390625
1a = 192 000
a = 192 000
Użyj kolejności operacji, aby sprawdzić swoją odpowiedź.
192 000(.25)⁴= 750
192 000 (0,0390625) = 750
750 = 750