Funkcja wykładnicza i rozpad

W matematyce, wykładniczy rozpad opisuje proces zmniejszania kwoty o stałą stopę procentową w czasie. Można to wyrazić wzorem y=a(1-b)^x w którym Tak to ostateczna kwota, a to pierwotna kwota, b jest czynnikiem rozpadu i x to czas, który minął.

Formuła zaniku wykładniczego jest przydatna w wielu rzeczywistych zastosowaniach, w szczególności do śledzenia zapasów, które są regularnie używane w tej samej ilości (np. jedzenie w szkolnej stołówce) i jest szczególnie przydatna ze względu na możliwość szybkiej oceny kosztów długoterminowych użytkowania produktu w czasie.

Rozpad wykładniczy różni się od rozpad liniowy w tym, że współczynnik zaniku zależy od procentu pierwotnej kwoty, co oznacza, że ​​rzeczywista liczba, o którą pierwotna kwota może zostać zmniejszona, zmieni się w czasie, podczas gdy funkcja liniowa za każdym razem zmniejsza pierwotną liczbę o tę samą wartość.

Jest to również przeciwieństwo wykładniczy wzrost , co zwykle ma miejsce na giełdach, na których wartość firmy z czasem rośnie wykładniczo, zanim osiągnie stabilizację. Możesz porównywać i kontrastować różnice między wzrostem wykładniczym a zanikiem, ale jest to całkiem proste: jedna zwiększa pierwotną wartość, a druga ją zmniejsza.

Elementy wzoru na rozkład wykładniczy

Na początek ważne jest, aby rozpoznać wzór rozkładu wykładniczego i być w stanie zidentyfikować każdy z jego elementów:

y = a(1-b)^x

Aby właściwie zrozumieć użyteczność wzoru na rozpad, ważne jest, aby zrozumieć, jak zdefiniowany jest każdy z czynników, zaczynając od wyrażenia „współczynnik rozpadu” – reprezentowanego przez literę b we wzorze zaniku wykładniczego — który jest procentem, o który pierwotna kwota będzie się zmniejszać za każdym razem.

Pierwotna kwota tutaj – reprezentowana przez literę a we wzorze — to ilość przed wystąpieniem rozkładu, więc jeśli myślisz o tym w sensie praktycznym, pierwotna ilość to ilość jabłek, którą kupuje piekarnia, a współczynnik wykładniczy to procent jabłek zużytych w ciągu godziny robić ciasta.

Wykładnik, który w przypadku zaniku wykładniczego jest zawsze czasem i jest wyrażony literą x, reprezentuje częstotliwość występowania zaniku i jest zwykle wyrażany w sekundach, minutach, godzinach, dniach lub latach.

Przykład rozpadu wykładniczego

Skorzystaj z poniższego przykładu, aby zrozumieć koncepcję zaniku wykładniczego w rzeczywistym scenariuszu:

W poniedziałek kafeteria Ledwith obsługuje 5000 klientów, ale we wtorek rano lokalne wiadomości donoszą, że restauracja nie przechodzi inspekcji sanitarnej i ma – och! – naruszenia związane ze zwalczaniem szkodników. We wtorek kafeteria obsługuje 2500 klientów. W środę kafeteria obsługuje tylko 1250 klientów. W czwartek kafeteria obsługuje nędznych 625 klientów.

Jak widać, każdego dnia liczba klientów spadała o 50 proc. Ten rodzaj spadku różni się od funkcji liniowej. W funkcja liniowa , liczba klientów zmniejszałaby się każdego dnia o tę samą kwotę. Pierwotna kwota ( a ) wyniesie 5000, współczynnik zaniku ( b ) byłoby zatem 0,5 (50 procent zapisane jako ułamek dziesiętny), a wartość czasu ( x ) zależy od tego, ile dni Ledwith chce przewidzieć wyniki.

Gdyby Ledwith zapytał, ilu klientów straciłby w ciągu pięciu dni, gdyby trend się utrzymał, jego księgowy mógłby znaleźć rozwiązanie, wstawiając wszystkie powyższe liczby do formuły zaniku wykładniczego, aby uzyskać: ​

y = 5000(1-0,5)⁵

Rozwiązanie wychodzi na 312 i pół, ale ponieważ nie możesz mieć połowy klienta, księgowy zaokrągliłby liczbę do 313 i mógłby powiedzieć, że za pięć dni Ledwith może spodziewać się utraty kolejnych 313 klientów!