Przedział ufności dla różnicy dwóch proporcji populacji

Wzór na przedział ufności dla różnicy dwóch proporcji. C.K. Taylor

Przedziały ufności są częścią statystyki wnioskowe . Podstawową ideą tego tematu jest oszacowanie wartości nieznanej populacji parametr przy użyciu próby statystycznej. Możemy nie tylko oszacować wartość parametru, ale także dostosować nasze metody do oszacowania różnicy między dwoma powiązanymi parametrami. Na przykład możemy chcieć znaleźć różnicę w odsetku mężczyzn głosujących w USA, którzy popierają dany akt prawny, w porównaniu z populacją głosującą kobiet.

Zobaczymy, jak wykonać tego typu obliczenia, konstruując przedział ufności dla różnicy dwóch proporcji populacji. W trakcie tego przeanalizujemy niektóre z teorii stojących za tymi obliczeniami. Zobaczymy pewne podobieństwa w sposobie konstruowania a przedział ufności dla pojedynczej proporcji populacji jak również przedział ufności dla różnicy dwóch średnich populacji .

Ogólne

Zanim przyjrzymy się konkretnej formule, której będziemy używać, rozważmy ogólne ramy, w które wpisuje się ten typ przedziału ufności. Postać typu przedziału ufności, któremu się przyjrzymy, dana jest następującym wzorem:

Oszacuj +/- margines błędu

Wiele przedziałów ufności jest tego typu. Musimy obliczyć dwie liczby. Pierwsza z tych wartości to oszacowanie parametru. Druga wartość to margines błędu. Ten margines błędu tłumaczy fakt, że dysponujemy szacunkami. Przedział ufności dostarcza nam zakresu możliwych wartości dla naszego nieznanego parametru.

Warunki

Powinniśmy upewnić się, że wszystkie warunki są spełnione przed wykonaniem jakichkolwiek obliczeń. Aby znaleźć przedział ufności dla różnicy dwóch proporcji populacji, musimy upewnić się, że obowiązuje następujący warunek:

• Mamy dwa proste próbki losowe z dużych populacji. Tutaj „duża” oznacza, że ​​populacja jest co najmniej 20 razy większa niż wielkość próby. Rozmiary próbek będą oznaczone przez n ₁oraz n _dwa.
• Nasze jednostki zostały wybrane niezależnie od siebie.
• W każdej z naszych próbek jest co najmniej dziesięć sukcesów i dziesięć porażek.

Jeśli ostatnia pozycja na liście nie jest spełniona, może istnieć sposób na obejście tego. Możemy modyfikować przedział ufności plus cztery budowa i pozyskiwanie solidne wyniki . Idąc dalej zakładamy, że wszystkie powyższe warunki zostały spełnione.

Próbki i proporcje populacji

Teraz jesteśmy gotowi do skonstruowania naszego przedziału ufności. Zaczynamy od oszacowania różnicy między naszymi proporcjami populacji. Oba te proporcje populacji są szacowane na podstawie proporcji próby. Te proporcje próbek to statystyki, które można znaleźć, dzieląc liczbę sukcesów w każdej próbie, a następnie dzieląc przez odpowiednią wielkość próby.

Pierwszy odsetek ludności jest oznaczony przez p ₁. Jeśli liczba sukcesów w naszej próbie z tej populacji wynosi k ₁, to mamy próbkę k ₁ / n _1.

Oznaczamy tę statystykę przez p̂₁. Czytamy ten symbol jako „p₁-hat”, ponieważ wygląda jak symbol p₁z kapeluszem na górze.

W podobny sposób możemy obliczyć proporcję próbki z naszej drugiej populacji. Parametr z tej populacji to p _dwa. Jeśli liczba sukcesów w naszej próbie z tej populacji wynosi k _dwa, a nasza proporcja próbki to p̂_dwa = k _dwa / n _dwa.

Te dwie statystyki stają się pierwszą częścią naszego przedziału ufności. Szacunek p ₁to P₁. Szacunek p _dwato P_dwa.Więc oszacowanie różnicy p ₁- p _dwato P₁- p_dwa.

Rozkład próbkowania różnicy proporcji próbek

Następnie musimy otrzymać wzór na margines błędu. Aby to zrobić, najpierw rozważymy dystrybucja próbek z p̂₁. Jest to rozkład dwumianowy z prawdopodobieństwem sukcesu p ₁oraz n ₁próby. Średnia tego rozkładu to proporcja p ₁. Odchylenie standardowe tego typu zmiennej losowej ma wariancję p ₁(1 - p ₁)/ n ₁.

Rozkład próbkowania p̂_dwajest podobny do p̂₁. Po prostu zmień wszystkie indeksy z 1 na 2 i otrzymamy rozkład dwumianowy ze średnią p_dwai wariancja p _dwa(1 - p _dwa)/ n _dwa.

Potrzebujemy teraz kilku wyników ze statystyki matematycznej, aby określić rozkład próbkowania p̂₁- p_dwa. Średnia tego rozkładu wynosi p ₁- p _dwa. Ze względu na to, że wariancje sumują się, widzimy, że wariancja rozkładu próbkowania wynosi p ₁(1 - p ₁)/ n ₁+ p _dwa(1 - p _dwa)/ n _dwa.Odchylenie standardowe rozkładu to pierwiastek kwadratowy tego wzoru.

Jest kilka poprawek, które musimy wprowadzić. Po pierwsze, wzór na odchylenie standardowe p̂₁- p_dwaużywa nieznanych parametrów p ₁oraz p _dwa. Oczywiście, gdybyśmy naprawdę znali te wartości, nie byłby to wcale interesujący problem statystyczny. Nie musielibyśmy szacować różnicy między p ₁oraz p _dwa..Zamiast tego moglibyśmy po prostu obliczyć dokładną różnicę.

Ten problem można rozwiązać, obliczając błąd standardowy, a nie odchylenie standardowe. Wszystko, co musimy zrobić, to zastąpić proporcje populacji proporcjami próbki. Błędy standardowe są obliczane na podstawie statystyk, a nie parametrów. Błąd standardowy jest przydatny, ponieważ skutecznie szacuje odchylenie standardowe. Dla nas oznacza to, że nie musimy już znać wartości parametrów p ₁oraz p _dwa. . Ponieważ te proporcje próbek są znane, błąd standardowy jest wyrażony jako pierwiastek kwadratowy z następującego wyrażenia:

p₁(1 - p̂₁)/ n ₁+_dwa(1 - p̂_dwa)/ n _dwa.

Drugą kwestią, którą musimy się zająć, jest konkretna forma dystrybucji próbek. Okazuje się, że możemy użyć rozkładu normalnego do przybliżenia rozkładu próbkowania p̂₁- p_dwa. Powód tego jest nieco techniczny, ale został omówiony w następnym akapicie.

Oba₁i p_dwamają rozkład próbkowania, który jest dwumianowy. Każdy z tych rozkładów dwumianowych może być dość dobrze przybliżony przez rozkład normalny. Tak więc pu₁- p_dwajest zmienną losową. Powstaje jako liniowa kombinacja dwóch zmiennych losowych. Każdy z nich jest przybliżony przez rozkład normalny. Dlatego rozkład próbkowania p̂₁- p_dwajest również normalnie dystrybuowany.

Wzór przedziału ufności

Mamy teraz wszystko, czego potrzebujemy, aby zebrać nasz przedział ufności. Szacunek to (p̂₁- p_dwa), a margines błędu to z* [ p₁(1 - p̂₁)/ n ₁+_dwa(1 - p̂_dwa)/ n _dwa.]^0,5. Wartość, dla której wprowadzamy z* jest podyktowana poziomem ufności C. Powszechnie używane wartości dla z* wynoszą 1,645 dla ufności 90% i 1,96 dla ufności 95%. Te wartości dla z* oznaczają część standardowego rozkładu normalnego, gdzie dokładnie C procent dystrybucji jest pomiędzy -z* oraz z*.

Poniższy wzór daje nam przedział ufności dla różnicy dwóch proporcji populacji:

(p₁- p_dwa) +/- z* [ p₁(1 - p̂₁)/ n ₁+_dwa(1 - p̂_dwa)/ n _dwa.]^0,5