Prawdopodobieństwo i kości kłamcy

Riou/Photographer's Choice RF/Getty Images

Wiele gier losowych można analizować za pomocą matematyki prawdopodobieństwa. W tym artykule przyjrzymy się różnym aspektom gry zwanej Kłamcami. Po opisaniu tej gry obliczymy prawdopodobieństwa z nią związane.

Krótki opis kości kłamcy

Gra Liar’s Dice to w rzeczywistości rodzina gier polegających na blefowaniu i oszustwie. Istnieje wiele wariantów tej gry i ma kilka różnych nazw, takich jak Pirate's Dice, Deception i Dudo. Wersja tej gry pojawiła się w filmie Piraci z Karaibów: Skrzynia umarlaka.

W wersji gry, którą przyjrzymy się każdemu graczowi, każdy gracz ma kubek i zestaw takiej samej liczby kości. Kości są standardowymi, sześciościennymi kośćmi ponumerowanymi od jednego do sześciu. Każdy rzuca kośćmi, trzymając je przykryte kubkiem. W odpowiednim momencie gracz patrzy na swój zestaw kości, ukrywając je przed wszystkimi innymi. Gra została zaprojektowana tak, aby każdy gracz miał doskonałą wiedzę na temat własnego zestawu kości, ale nie miał wiedzy na temat innych rzuconych kości.

Po tym, jak wszyscy mieli okazję spojrzeć na swoje kości, rozpoczyna się licytacja. W każdej turze gracz ma dwie możliwości: złożyć wyższą ofertę lub nazwać poprzednią ofertę kłamstwem. Licytacje można podnieść, licytując wyższą wartość kości od jednego do sześciu lub licytując większą liczbę o tej samej wartości kości.

Na przykład, stawka Trzech dwójek może zostać zwiększona poprzez stwierdzenie Cztery dwójki. Można go również zwiększyć, mówiąc Trzy trójki. Ogólnie rzecz biorąc, ani liczba kostek, ani wartości kostek nie mogą się zmniejszyć.

Ponieważ większość kostek jest ukryta, ważne jest, aby wiedzieć, jak obliczyć niektóre prawdopodobieństwa. Wiedząc o tym, łatwiej jest zobaczyć, które oferty są prawdopodobnie prawdziwe, a które mogą być kłamstwami.

Wartość oczekiwana

Pierwszą kwestią jest pytanie: Ile kostek tego samego rodzaju oczekiwalibyśmy? Na przykład, jeśli rzucimy pięcioma kośćmi, ile z nich spodziewamy się, że będzie to dwie? Odpowiedź na to pytanie wykorzystuje ideę wartość oczekiwana .

Oczekiwana wartość zmiennej losowej to prawdopodobieństwo wystąpienia określonej wartości pomnożone przez tę wartość.

Prawdopodobieństwo, że pierwsza kostka to dwójka, wynosi 1/6. Ponieważ kostki są od siebie niezależne, prawdopodobieństwo, że którakolwiek z nich jest dwójką, wynosi 1/6. Oznacza to, że oczekiwana liczba wyrzuconych dwójek to 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 5/6.

Oczywiście nie ma nic specjalnego w wyniku dwóch. Nie ma też nic szczególnego w liczbie kostek, które braliśmy pod uwagę. Gdybyśmy się rzucili n kości, wtedy oczekiwana liczba dowolnego z sześciu możliwych wyników wynosi n /6. Warto wiedzieć o tej liczbie, ponieważ daje nam ona podstawę do wykorzystania podczas kwestionowania ofert składanych przez innych.

Na przykład, jeśli gramy w kości kłamcy sześcioma kośćmi, oczekiwana wartość dowolnej z wartości od 1 do 6 wynosi 6/6 = 1. Oznacza to, że powinniśmy być sceptyczni, jeśli ktoś zalicytuje więcej niż jedną o dowolnej wartości. Na dłuższą metę uśrednilibyśmy jedną z możliwych wartości.

Przykład dokładnego toczenia

Załóżmy, że rzucamy pięcioma kośćmi i chcemy obliczyć prawdopodobieństwo rzutu dwiema trójkami. Prawdopodobieństwo, że kostka jest trójką, wynosi 1/6. Prawdopodobieństwo, że kostka nie jest równa 3, wynosi 5/6. Rzuty tymi kostkami są niezależnymi zdarzeniami, więc mnożymy prawdopodobieństwa razem za pomocą reguła mnożenia .

Prawdopodobieństwo, że dwie pierwsze kostki są trójkami, a pozostałe nie są trójkami, określa następujący iloczyn:

(1/6) x (1/6) x (5/6) x (5/6) x (5/6)

Pierwsze dwie kostki będące trójkami to tylko jedna możliwość. Kości, które są trójkami, mogą być dowolnymi dwiema z pięciu kostek, którymi rzucamy. Kość, która nie jest trójką, oznaczamy przez *. Oto możliwe sposoby uzyskania dwóch trójek na pięć rzutów:

• 3, 3, * , * ,*
• 3, * , 3, * ,*
• 3, * , * ,3 ,*
• 3, * , * , *, 3
• *, 3, 3, * , *
• *, 3, *, 3, *
• *, 3, * , *, 3
• *, *, 3, 3, *
• *, *, 3, *, 3
• *, *, *, 3, 3

Widzimy, że istnieje dziesięć sposobów na rzucenie dokładnie dwiema trójkami na pięć kostek.

Teraz mnożymy nasze powyższe prawdopodobieństwo przez 10 sposobów, w jakie możemy mieć taką konfigurację kostek. Wynik to 10 x (1/6) x (1/6) x (5/6) x (5/6) x (5/6) = 1250/7776. To około 16%.

Sprawa ogólna

Uogólniamy teraz powyższy przykład. Rozważamy prawdopodobieństwo toczenia n kości i uzyskanie dokładnie k które mają pewną wartość.

Tak jak poprzednio, prawdopodobieństwo wyrzucenia liczby, którą chcemy, wynosi 1/6. Prawdopodobieństwo nie wyrzucenia tej liczby jest podane przez zasada uzupełnienia jak 5/6. Chcemy k naszych kostek ma być wybraną liczbą. To znaczy że n - k to liczba inna niż ta, którą chcemy. Prawdopodobieństwo pierwszego k kostka jest pewną liczbą z innymi kośćmi, a nie ta liczba to:

(1/6) ^k (5/6) ^{n - k}

Byłoby żmudne, nie wspominając o czasochłonności, wymienianie wszystkich możliwych sposobów rzucania daną konfiguracją kostek. Dlatego lepiej skorzystać z naszych zasad liczenia. Dzięki tym strategiom widzimy, że liczymy kombinacje .

Istnieje C( n , k ) sposoby toczenia k pewnego rodzaju kości z n kostka do gry. Liczba ta jest określona wzorem n !/( k !( n - k )!)

Składając wszystko razem, widzimy to, gdy się toczymy n kości, prawdopodobieństwo, że dokładnie k z nich to konkretna liczba określona jest wzorem:

[ n !/( k !( n - k )!)] (1/6) ^{k (5/6) n - k}

Jest inny sposób na rozważenie tego typu problemu. Wiąże się to z rozkład dwumianowy z prawdopodobieństwem sukcesu podanym przez p = 1/6. Wzór na dokładnie k liczba tych kostek jest określona jako funkcja masy prawdopodobieństwa dla dwumianu dystrybucja .

Prawdopodobieństwo co najmniej

Kolejną sytuacją, którą powinniśmy wziąć pod uwagę, jest prawdopodobieństwo wyrzucenia przynajmniej pewnej liczby określonej wartości. Na przykład, kiedy rzucamy pięcioma kośćmi, jakie jest prawdopodobieństwo rzucenia co najmniej trzema? Mogliśmy rzucić trzy, cztery lub pięć. Aby określić prawdopodobieństwo, które chcemy znaleźć, dodajemy do siebie trzy prawdopodobieństwa.

Tabela prawdopodobieństw

Poniżej mamy tabelę prawdopodobieństw uzyskania dokładnie k o określonej wartości, gdy rzucamy pięcioma kośćmi.

Liczba kości k	Prawdopodobieństwo toczenia się dokładnie k Kości o określonym numerze
0	0,401877572
1	0,401877572
dwa	0.160751029
3	0.032150206
4	0,003215021
5	0,000128601

Następnie rozważymy poniższą tabelę. Daje to prawdopodobieństwo wyrzucenia przynajmniej pewnej liczby wartości, gdy rzucamy łącznie pięcioma kośćmi. Widzimy, że chociaż jest bardzo prawdopodobne, że wyrzuci co najmniej jedną dwójkę, nie jest tak prawdopodobne, że wyrzuci co najmniej cztery dwójki.

Liczba kości k	Prawdopodobieństwo toczenia co najmniej k Kości o określonym numerze
0	1
1	0,598122428
dwa	0,196244856
3	0,035493827
4	0,00334362
5	0,000128601