Obliczanie prawdopodobieństwa losowego wyboru liczby pierwszej

ROBERT BROOK / Getty Images

Teoria liczb jest gałęzią matematyka to dotyczy zbioru liczb całkowitych. Ograniczamy się nieco, robiąc to, ponieważ nie badamy bezpośrednio innych liczb, takich jak irracjonalne. Jednak inne rodzaje liczby rzeczywiste są używane. Poza tym temat prawdopodobieństwa ma wiele powiązań i przecięć z teorią liczb. Jedno z tych połączeń ma związek z dystrybucją liczby pierwsze. Dokładniej możemy zapytać, jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrana liczba całkowita od 1 do x jest liczbą pierwszą?

Założenia i definicje

Jak w przypadku każdego problemu matematycznego, ważne jest, aby zrozumieć nie tylko przyjęte założenia, ale także definicje wszystkich kluczowych terminów w zadaniu. W tym problemie bierzemy pod uwagę liczby całkowite dodatnie, czyli liczby całkowite 1, 2, 3, . . . do pewnej liczby x . Losowo wybieramy jedną z tych liczb, co oznacza, że ​​wszystkie x z nich z równym prawdopodobieństwem zostanie wybrany.

Próbujemy określić prawdopodobieństwo wybrania liczby pierwszej. Dlatego musimy zrozumieć definicję liczby pierwszej. Liczba pierwsza to dodatnia liczba całkowita, która ma dokładnie dwa czynniki. Oznacza to, że jedynymi dzielnikami liczb pierwszych są jeden i sama liczba. Tak więc 2,3 i 5 są liczbami pierwszymi, ale 4, 8 i 12 nie są liczbami pierwszymi. Zauważmy, że ponieważ liczba pierwsza musi składać się z dwóch czynników, liczba 1 to nie główny.

Rozwiązanie dla niskich liczb

Rozwiązanie tego problemu jest proste dla małych liczb x . Wszystko, co musimy zrobić, to po prostu policzyć liczby liczb pierwszych, które są mniejsze lub równe x . Dzielimy liczbę liczb pierwszych mniejszą lub równą x według liczby x .

Na przykład, aby znaleźć prawdopodobieństwo, że liczba pierwsza zostanie wybrana od 1 do 10, musimy podzielić liczbę liczb pierwszych od 1 do 10 przez 10. Liczby 2, 3, 5, 7 są liczbami pierwszymi, więc prawdopodobieństwo, że liczba pierwsza jest wybrany jest 4/10 = 40%.

Prawdopodobieństwo, że liczba pierwsza zostanie wybrana od 1 do 50, można znaleźć w podobny sposób. Liczby pierwsze mniejsze niż 50 to: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 i 47. Istnieje 15 liczb pierwszych mniejszych lub równych 50. Zatem prawdopodobieństwo, że liczba pierwsza zostanie wybrana losowo, wynosi 15/50 = 30%.

Ten proces można przeprowadzić, po prostu licząc liczby pierwsze, o ile mamy listę liczb pierwszych. Na przykład jest 25 liczb pierwszych mniejszych lub równych 100. (Zatem prawdopodobieństwo, że losowo wybrana liczba od 1 do 100 jest liczbą pierwszą wynosi 25/100 = 25%.) Jeśli jednak nie mamy listy liczb pierwszych, określenie zbioru liczb pierwszych, które są mniejsze lub równe danej liczbie, może być obliczeniowo trudne x .

Twierdzenie o liczbach pierwszych

Jeśli nie masz liczby liczb pierwszych, które są mniejsze lub równe x , istnieje alternatywny sposób rozwiązania tego problemu. Rozwiązanie obejmuje wynik matematyczny znany jako twierdzenie o liczbach pierwszych. Jest to stwierdzenie o ogólnym rozkładzie liczb pierwszych i może być użyte do przybliżenia prawdopodobieństwa, które próbujemy określić.

Twierdzenie o liczbach pierwszych mówi, że istnieje około x / ln( x ) liczby pierwsze, które są mniejsze lub równe x . Tutaj w ( x ) oznacza logarytm naturalny x , czyli logarytm o podstawie numer oraz . Jako wartość x zwiększa przybliżenie poprawia się w tym sensie, że widzimy zmniejszenie błędu względnego między liczbą liczb pierwszych mniejszą niż x i wyrażenie x / ln( x ).

Zastosowanie twierdzenia o liczbach pierwszych

Możemy użyć wyniku twierdzenia o liczbach pierwszych do rozwiązania problemu, który próbujemy rozwiązać. Wiemy z twierdzenia o liczbach pierwszych, że istnieje około x / ln( x ) liczby pierwsze, które są mniejsze lub równe x . Ponadto istnieje łącznie x liczby całkowite dodatnie mniejsze lub równe x . Dlatego prawdopodobieństwo, że losowo wybrana liczba z tego zakresu jest liczbą pierwszą wynosi ( x / ln( x ) ) / x = 1 / ln( x ).

Przykład

Możemy teraz użyć tego wyniku do przybliżenia prawdopodobieństwa losowego wybrania liczby pierwszej spośród pierwszej miliard liczby całkowite. Obliczamy logarytm naturalny miliarda i widzimy, że ln(1 000 000 000) wynosi około 20,7, a 1/ln (1 000 000 000) wynosi około 0,0483. Mamy więc około 4,83% prawdopodobieństwa losowego wyboru liczby pierwszej spośród pierwszych miliardów liczb całkowitych.