Fakty dotyczące numeru e: 2.7182818284590452...

C.K.Taylor

Jeśli poprosisz kogoś o nazwanie swojej ulubionej stałej matematycznej, prawdopodobnie otrzymasz zagadkowe spojrzenia. Po chwili ktoś może zgłosić, że najlepsza stała to pi . Ale to nie jedyna ważna stała matematyczna. Bliska sekunda, jeśli nie pretendent do korony najbardziej wszechobecnej stałej, to oraz . Ta liczba pojawia się w rachunku różniczkowym, teorii liczb, prawdopodobieństwie i Statystyka . Zbadamy niektóre cechy tej niezwykłej liczby i zobaczymy, jakie ma ona powiązania ze statystykami i prawdopodobieństwem.

Wartość oraz

Jak pi, oraz jest irracjonalny prawdziwy numer . Oznacza to, że nie można go zapisać jako ułamek, a jego rozwinięcie dziesiętne trwa w nieskończoność bez powtarzającego się bloku liczb, który ciągle się powtarza. Numer oraz jest również transcendentalny, co oznacza, że ​​nie jest pierwiastkiem niezerowego wielomianu o współczynnikach wymiernych. Pierwsze pięćdziesiąt miejsc po przecinku jest podane przez oraz = 2,71828182845904523536028747135266249775724709369995.

Definicja oraz

Numer oraz została odkryta przez ludzi, którzy byli ciekawi oprocentowania składanego. W tej formie odsetek zleceniodawca zarabia odsetki, a następnie wygenerowane odsetki same na siebie zarabiają. Zaobserwowano, że im większa częstotliwość okresów kapitalizacji w roku, tym wyższa kwota wygenerowanych odsetek. Na przykład możemy przyjrzeć się narastającemu odsetkowi:

• Rocznie lub raz w roku
• Pół roku, czyli dwa razy w roku
• Miesięcznie lub 12 razy w roku
• Codziennie, czyli 365 razy w roku

Łączna kwota odsetek wzrasta w każdym z tych przypadków.

Powstało pytanie, ile pieniędzy można by ewentualnie zarobić na odsetkach. Aby spróbować zarobić jeszcze więcej pieniędzy, moglibyśmy teoretycznie zwiększyć liczbę okresów składowych do tak wysokiej, jak chcieliśmy. Końcowym rezultatem tego wzrostu jest to, że uważamy, że odsetki są naliczane w sposób ciągły.

Generowane zainteresowanie rośnie, ale dzieje się to bardzo powoli. Całkowita kwota pieniędzy na koncie faktycznie się stabilizuje, a wartość, do której się stabilizuje, wynosi oraz . Aby wyrazić to za pomocą wzoru matematycznego, mówimy, że granica jako n wzrosty o (1+1/ n ) ⁿ = oraz .

Zastosowania oraz

Numer oraz pojawia się w matematyce. Oto kilka miejsc, w których się pojawia:

• Jest to podstawa logarytmu naturalnego. Odkąd Napier wynalazł logarytmy, oraz jest czasami określany jako stała Napiera.
• W rachunku różniczkowym funkcja wykładnicza oraz^x ma wyjątkową właściwość bycia własną pochodną.
• Wyrażenia z udziałem oraz^x oraz oraz^-x łączą się, tworząc hiperboliczne funkcje sinusa i hiperbolicznego cosinusa.
• Dzięki pracy Eulera wiemy, że podstawowe stałe matematyki są powiązane wzorem oraz^ja +1=0, gdzie i jest liczbą urojoną, która jest pierwiastkiem kwadratowym z liczby ujemnej.
• Numer oraz pojawia się w różnych formułach w matematyce, zwłaszcza w obszarze teorii liczb.

Wartość oraz w Statystyce

Znaczenie liczby oraz nie ogranicza się tylko do kilku obszarów matematyki. Istnieje również kilka zastosowań numeru oraz w statystyce i prawdopodobieństwie. Oto kilka z nich:

• Numer oraz pojawia się w wzór na funkcję gamma .
• Wzory na standardowy rozkład normalny wymaga oraz do negatywnej mocy. Ta formuła zawiera również pi.
• Wiele innych dystrybucji obejmuje użycie liczby oraz . Na przykład wszystkie wzory na rozkład t, rozkład gamma i rozkład chi-kwadrat zawierają liczbę oraz .