Jakie są prawa De Morgana?

Obrazy ludowe / Getty

Statystyka matematyczna czasami wymaga zastosowania teorii mnogości. Prawa de Morgana to dwa zdania opisujące interakcje między różnymi operacjami teorii mnogości. Prawa są takie, że dla dowolnych dwóch zbiorów A oraz B :

1. ( A B )^C= A ^CW B ^C.
2. ( A W B )^C= A ^C B ^C.

Po wyjaśnieniu, co oznacza każde z tych stwierdzeń, przyjrzymy się przykładowi każdego z nich.

Operacje związane z teorią mnogości

Aby zrozumieć, co mówią prawa De Morgana, musimy przypomnieć sobie niektóre definicje operacji na teorii mnogości. W szczególności musimy wiedzieć o unia oraz skrzyżowanie dwóch zestawów i uzupełnienie zestawu.

Prawa De Morgana odnoszą się do interakcji związku, przecięcia i dopełnienia. Odwołaj to:

• Przecięcie zbiorów A oraz B składa się ze wszystkich elementów, które są wspólne dla obu A oraz B . Skrzyżowanie jest oznaczone przez A B .
• Związek zbiorów A oraz B składa się ze wszystkich elementów, które w obu A lub B , w tym elementy w obu zestawach. Skrzyżowanie jest oznaczone A U B.
• Uzupełnienie zestawu A składa się ze wszystkich elementów, które nie są elementami A . To uzupełnienie jest oznaczone przez A^C.

Teraz, gdy przypomnieliśmy sobie te podstawowe operacje, zobaczymy stwierdzenie praw De Morgana. Dla każdej pary zestawów A oraz B mamy:

1. ( A B )^C= A ^CW B ^C
2. ( A W B )^C= A ^C B ^C

Te dwa stwierdzenia można zilustrować za pomocą diagramów Venna. Jak widać poniżej, możemy zademonstrować na przykładzie. Aby wykazać, że te stwierdzenia są prawdziwe, musimy: udowodnij je wykorzystując definicje operacji z teorii mnogości.

Przykład praw De Morgana

Rozważmy na przykład zbiór liczby rzeczywiste od 0 do 5. Zapisujemy to w notacji interwałowej [0, 5]. W ramach tego zestawu mamy A = [1, 3] i B = [2, 4]. Ponadto po zastosowaniu naszych podstawowych operacji mamy:

• Uzupełnienie A ^C= [0, 1) IN (3, 5)
• Uzupełnienie B ^C= [0, 2) IN (4, 5)
• Unia A W B = [1, 4]
• Skrzyżowanie A B = [23]

Zaczynamy od obliczenia związku A ^CW B ^C. Widzimy, że suma [0, 1) U (3, 5] z [0, 2) U (4, 5] to [0, 2) U (3, 5]). A B jest [2, 3]. Widzimy, że dopełnieniem tego zbioru [2, 3] jest również [0, 2) U (3, 5]. W ten sposób wykazaliśmy, że A ^CW B ^C= ( A B )^C.

Teraz widzimy przecięcie [0, 1) U (3, 5] z [0, 2) U (4, 5] to [0, 1) U (4, 5]. Widzimy również, że dopełnienie [ 1, 4] to także [0, 1) U (4, 5]. W ten sposób wykazaliśmy, że A ^C B ^C= ( A W B )^C.

Nazewnictwo praw De Morgana

W całej historii logiki ludzie tacy jak Arystoteles i William of Ockham wydali oświadczenia równoważne z Prawami De Morgana.

Prawa De Morgana noszą imię Augusta De Morgana, który żył w latach 1806-1871. Chociaż nie odkrył tych praw, jako pierwszy wprowadził te twierdzenia formalnie, używając matematycznego sformułowania w logice zdań.