Jak rozwiązywać funkcje rozkładu wykładniczego
Rozwiązania algebry: odpowiedzi i wyjaśnienia
Justin Lewis / Getty Images
Funkcje wykładnicze opowiadać historie o wybuchowych zmianach. Dwa rodzaje funkcji wykładniczych to wzrost wykładniczy i spadek wykładniczy. Cztery zmienne (zmiana procentowa, czas, kwota na początku okresu i kwota na końcu okresu) odgrywają rolę w funkcjach wykładniczych. Użyj funkcji zaniku wykładniczego, aby znaleźć kwotę na początku okresu.
Rozpad wykładniczy
Zanik wykładniczy to zmiana, która występuje, gdy pierwotna kwota jest zmniejszana o stałą stopę przez pewien okres czasu.
Oto funkcja zaniku wykładniczego:
Tak = a( 1 -b)x
- Tak : Ostateczna kwota pozostała po rozpadzie przez pewien czas
- a : Oryginalna kwota
- x : Czas
- Współczynnik rozpadu wynosi (1- b )
- Zmienna b to procent spadku w postaci dziesiętnej.
Cel znalezienia pierwotnej kwoty
Jeśli czytasz ten artykuł, prawdopodobnie jesteś ambitny. Za sześć lat może zechcesz kontynuować i licencjat na Uniwersytecie Marzeń. Z ceną 120 000 dolarów Dream University przywołuje finansowe nocne terrory. Po nieprzespanych nocach spotykacie się z mamą i tatą z planistą finansowym. Przekrwione oczy twoich rodziców rozjaśniają się, gdy planista ujawnia, że inwestycja z ośmioprocentowym tempem wzrostu może pomóc twojej rodzinie osiągnąć cel 120 000 dolarów. Ucz się ciężko. Jeśli ty i twoi rodzice zainwestujecie dzisiaj 75 620,36 $, Dream University stanie się twoją rzeczywistością dzięki wykładniczemu rozkładowi.
Jak rozwiązać
Ta funkcja opisuje wykładniczy wzrost inwestycji:
120 000 = a (1 +.08)6
- 120 000: Ostateczna kwota pozostała po 6 latach
- .08: Roczna stopa wzrostu
- 6: Liczba lat na rozwój inwestycji
- a : Początkowa kwota, jaką zainwestowała Twoja rodzina
Dzięki symetrycznej własności równości 120 000 = a (1 +.08)6jest taki sam jak a (1 +.08)6= 120 000. Symetryczna własność równości mówi, że jeśli 10 + 5 = 15, to 15 = 10 + 5.
Jeśli wolisz przepisać równanie ze stałą (120 000) po prawej stronie równania, zrób to.
a (1 +.08)6= 120 000
To prawda, że równanie nie wygląda jak a równanie liniowe (6 a = 120 000 $), ale można to rozwiązać. Zostać przy tym!
a (1 +.08)6= 120 000
Nie rozwiązuj tego równania wykładniczego, dzieląc 120 000 przez 6. To kusząca matematyka, nie, nie.
1. Użyj kolejności operacji, aby uprościć
a (1 +.08)6= 120 000
a (1.08)6= 120 000 (nawiasy)
a (1,586874323) = 120 000 (wykładnik)
2. Rozwiąż przez działowy
a (1,586874323) = 120 000
a (1.586874323) / (1.586874323) = 120 000 / (1.586874323)
1 a = 75 620,35523
a = 75 620,35523
Pierwotna kwota do zainwestowania wynosi około 75 620,36 USD.
3. Zamrożenie: Jeszcze nie skończyłeś; użyj kolejności operacji, aby sprawdzić swoją odpowiedź
120 000 = a (1 +.08)6
120 000 = 75 620 35523 (1 + .08)6
120 000 = 75 620 35523 (1,08)6(Nawias)
120 000 = 75 620 35523 (1,586874323) (wykładnik)
120 000 = 120 000 (mnożenie)
Odpowiedzi i wyjaśnienia na pytania
Woodforest w Teksasie, na przedmieściach Houston, jest zdeterminowany, by zlikwidować przepaść cyfrową w swojej społeczności. Kilka lat temu liderzy społeczności odkryli, że ich obywatele są analfabetami komputerowymi. Nie mieli dostępu do Internet i zostali odcięci od autostrady informacyjnej. Liderzy stworzyli World Wide Web on Wheels, zestaw mobilnych stacji komputerowych.
World Wide Web on Wheels osiągnął swój cel, jakim jest tylko 100 analfabetów komputerowych obywateli Woodforest. Liderzy społeczności badali comiesięczne postępy w World Wide Web on Wheels. Według danych spadek liczby analfabetów komputerowych można opisać funkcją:
100 = a (1 - 0,12)10
1. Ile osób jest analfabetami komputerowymi 10 miesięcy po rozpoczęciu World Wide Web on Wheels?
- 100 osób
Porównaj tę funkcję z oryginalną wykładniczą funkcją wzrostu:
100 = a (1 - 0,12)10
Tak = a( 1 + b)x
The zmienny Tak reprezentuje liczbę analfabetów komputerowych pod koniec 10 miesięcy, więc 100 osób nadal jest analfabetami komputerowymi po tym, jak World Wide Web on Wheels zaczął działać w społeczności.
2. Czy ta funkcja reprezentuje wykładniczy zanik czy wykładniczy wzrost?
- Ta funkcja reprezentuje zanik wykładniczy, ponieważ znak ujemny znajduje się przed zmianą procentową (0,12).
3. Jaka jest miesięczna stopa zmiany?
- 12 procent
4. Ilu ludzi było analfabetami komputerowymi 10 miesięcy temu, kiedy powstał World Wide Web on Wheels?
- 359 osób
Użyj kolejność operacji ułatwiać.
100 = a (1 - 0,12)10
100 = a (.88)10(Nawias)
100 = a (.278500976) (Wykładnik)
Dziel do rozwiązania.
100(.278500976) = a (.278500976) / (.278500976)
359 0651689 = 1 a
359.0651689 = a
Użyj kolejności operacji, aby sprawdzić swoją odpowiedź.
100 = 359 0651689 (1 - 0,12)10
100 = 359.0651689(.88)10(Nawias)
100 = 359.0651689(.278500976) (Wykładnik)
100 = 100 (pomnóż)
5. Jeśli te trendy się utrzymają, ilu ludzi będzie analfabetami komputerowymi 15 miesięcy po rozpoczęciu World Wide Web on Wheels?
- 52 osoby
Dodaj, co wiesz o funkcji.
Tak = 359.0651689(1 - 0,12)x
Tak = 359.0651689(1 - 0,12)piętnaście
Użyj kolejności operacji, aby znaleźć Tak .
Tak = 359.0651689(.88)piętnaście(Nawias)
Tak = 359.0651689 (.146973854) (wykładnik)
Tak = 52,77319167 (pomnóż).