Jak rozwiązać układ równań liniowych

Studio Yagi / Getty Images

W matematyce równanie liniowe to takie, które zawiera dwie zmienne i może być wykreślone na wykresie jako linia prosta. Układ równań liniowych to grupa dwóch lub więcej równań liniowych, które zawierają ten sam zestaw zmiennych. Układy równań liniowych mogą być wykorzystywane do modelowania rzeczywistych problemów. Można je rozwiązać wieloma różnymi metodami:

1. Wykresy
2. Podstawienie
3. Eliminacja przez dodatek
4. Eliminacja przez odejmowanie

01 z 04

Wykresy

Eric Raptosh Fotografia / Mieszanie obrazów / Getty Images

Wykresy to jeden z najprostszych sposobów rozwiązywania układu równań liniowych. Wszystko, co musisz zrobić, to wykreślić każde równanie jako linię i znaleźć punkt (punkty), w którym linie się przecinają.

Rozważmy na przykład następujący układ równań liniowych zawierający zmienne x oraz Tak :

Tak = x + 3
Tak = -1 x - 3

Te równania są już zapisane w forma przecięcia nachylenia , co ułatwia ich rysowanie. Gdyby równania nie były napisane w formie przecięcia nachylenia, należałoby je najpierw uprościć. Gdy to zrobisz, rozwiązując dla x oraz Tak wymaga tylko kilku prostych kroków:

1. Narysuj oba równania na wykresie.

2. Znajdź punkt przecięcia równań. W tym przypadku odpowiedź brzmi (-3, 0).

3. Sprawdź, czy Twoja odpowiedź jest poprawna, podłączając wartości x = -3 i Tak = 0 do oryginalnych równań.

Tak = x + 3
(0) = (-3) + 3
0 = 0

Tak = -1 x - 3
0 = -1(-3) - 3
0 = 3 - 3
0 = 0

02 z 04

Podstawienie

Innym sposobem rozwiązania układu równań jest podstawienie. Dzięki tej metodzie zasadniczo upraszczasz jedno równanie i włączasz je do drugiego, co pozwala wyeliminować jedną z nieznanych zmiennych.

Rozważ następujący układ równań liniowych:

3 x + Tak = 6
x = 18 -3 Tak

W drugim równaniu x jest już odizolowany. Gdyby tak nie było, musielibyśmy najpierw uprościć równanie, aby wyizolować x . Po odizolowaniu x w drugim równaniu możemy wtedy zastąpić x w pierwszym równaniu z równoważną wartością z drugiego równania: (18 - 3 lata) .

1. Wymień x w pierwszym równaniu z podaną wartością x w drugim równaniu.

3 ( 18 – 3 lata ) + Tak = 6

2. Uprość każdą stronę równania.

54 – 9 Tak + Tak = 6
54 – 8 Tak = 6

3. Rozwiąż równanie dla Tak .

54 – 8 Tak – 54 = 6 – 54
-8 Tak = -48
-8 Tak /-8 = -48/-8

y = 6

4. Podłącz Tak = 6 i oblicz x .

x = 18 -3 Tak
x = 18 -3(6)
x = 18 - 18
x = 0

5. Sprawdź, czy (0,6) jest rozwiązaniem.

x = 18 -3 Tak
0 = 18 – 3(6)
0 = 18-18
0 = 0

03 z 04

Eliminacja przez dodanie

Jeśli podane równania liniowe są zapisane ze zmiennymi po jednej stronie i stałą po drugiej, najłatwiejszym sposobem rozwiązania systemu jest eliminacja.

Rozważ następujący układ równań liniowych:

x + Tak = 180
3 x + 2 Tak = 414

1. Najpierw napisz równania obok siebie, aby móc łatwo porównać współczynniki z każdą zmienną.

2. Następnie pomnóż pierwsze równanie przez -3.

-3(x + y = 180)

3. Dlaczego pomnożyliśmy przez -3? Dodaj pierwsze równanie do drugiego, aby się dowiedzieć.

-3x + -3y = -540
+ 3x + 2 lata = 414
0 + -1 r = -126

Teraz wyeliminowaliśmy zmienną x .

4. Znajdź zmienną Tak :

Tak = 126

5. Podłącz Tak = 126 do znalezienia x .

x + Tak = 180
x + 126 = 180
x = 54

6. Sprawdź, czy (54, 126) jest poprawną odpowiedzią.

3 x + 2 Tak = 414
3(54) + 2(126) = 414
414 = 414

04 z 04

Eliminacja przez odejmowanie

Innym sposobem rozwiązania przez eliminację jest odejmowanie, a nie dodawanie, podanych równań liniowych.

Rozważ następujący układ równań liniowych:

Tak - 12 x = 3
Tak - 5 x = -4

1. Zamiast dodawać równania, możemy je odjąć, aby je wyeliminować Tak .

Tak - 12 x = 3
- ( Tak - 5 x = -4)
0 - 7 x = 7

2. Rozwiąż dla x .

-7 x = 7
x = -1

3. Podłącz x = -1 do rozwiązania dla Tak .

Tak - 12 x = 3
Tak - 12(-1) = 3
Tak + 12 = 3
Tak = -9

4. Sprawdź, czy (-1, -9) jest właściwym rozwiązaniem.

(-9) - 5(-1) = -4
-9 + 5 = -4
-4 = -4