Funkcje wzrostu wykładniczego

Marekuliasz / Getty Images

Funkcje wykładnicze opowiadają historię gwałtownych zmian. Dwa rodzaje funkcji wykładniczych to wzrost wykładniczy i wykładniczy rozpad . Cztery zmienne (zmiana procentowa, czas, kwota na początku okresu i kwota na końcu okresu) odgrywają rolę w funkcjach wykładniczych. Poniżej skupiono się na używaniu funkcji wzrostu wykładniczego do prognozowania.

Wzrost wykładniczy

Wzrost wykładniczy to zmiana, która występuje, gdy pierwotna kwota jest zwiększana o stałą stopę przez pewien okres czasu

Zastosowania wzrostu wykładniczego w prawdziwym życiu:

• Wartości cen mieszkań
• Wartości inwestycji
• Zwiększone członkostwo w popularnym serwisie społecznościowym

Wykładniczy wzrost w handlu detalicznym

Edloe and Co. polega na reklamie szeptanej, oryginalnej sieci społecznościowej. Każdy z pięćdziesięciu kupujących powiedział pięciu osobom, a następnie każdy z tych nowych kupujących powiedział jeszcze pięciu osobom i tak dalej. Menedżer odnotował wzrost kupujących w sklepach.

• Tydzień 0: 50 kupujących
• Tydzień 1: 250 kupujących
• Tydzień 2: 1250 kupujących
• Tydzień 3: 6250 kupujących
• Tydzień 4: 31 250 kupujących

Po pierwsze, skąd wiesz, że te dane reprezentują? wykładniczy wzrost ? Zadaj sobie dwa pytania.

1. Czy wartości rosną? TAk
2. Czy wartości wykazują stały wzrost procentowy? TAk .

Jak obliczyć wzrost procentowy

Wzrost procentowy: (Nowsze - Starsze)/(Starsze) = (250 - 50) / 50 = 200/50 = 4,00 = 400%

Sprawdź, czy procentowy wzrost utrzymuje się przez cały miesiąc:

Wzrost procentowy: (Nowsze - Starsze)/(Starsze) = (1250 - 250)/250 = 4,00 = 400%
Wzrost procentowy: (Nowsze - Starsze)/(Starsze) = (6250 - 1250)/1250 = 4,00 = 400%

Ostrożnie - nie myl wzrostu wykładniczego i liniowego.

Poniżej przedstawiono wzrost liniowy:

• Tydzień 1: 50 kupujących
• Tydzień 2: 100 kupujących
• Tydzień 3: 150 kupujących
• Tydzień 4: 200 kupujących

Notatka : Wzrost liniowy oznacza stałą liczbę dodanych klientów (50 kupujących tygodniowo); wykładniczy wzrost oznacza stały procentowy wzrost (400%) klientów.

Jak napisać wykładniczą funkcję wzrostu?

Oto wykładnicza funkcja wzrostu:

Tak = a( 1 + b)^x

• Tak : Ostateczna kwota pozostała przez pewien czas
• a : Oryginalna kwota
• x : Czas
• The czynnik wzrostu jest (1 + b ).
• Zmienna, b , to zmiana procentowa w postaci dziesiętnej.

Uzupełnij puste pola:

• a = 50 kupujących
• b = 4,00

Tak = 50(1 + 4) ^x

Notatka : Nie wpisuj wartości dla x oraz Tak . Wartości x oraz Tak zmieni się w trakcie działania funkcji, ale pierwotna kwota i zmiana procentowa pozostaną stałe.

Użyj funkcji wzrostu wykładniczego do prognozowania

Załóżmy, że recesja, główna siła napędowa kupujących do sklepu, utrzymuje się przez 24 tygodnie. Ilu tygodniowo kupujących sklep będzie miał podczas 8^tentydzień?

Uważaj, nie podwajaj liczby kupujących w 4 tygodniu (31 250 *2 = 62 500) i wierz, że to poprawna odpowiedź. Pamiętaj, że ten artykuł dotyczy wzrostu wykładniczego, a nie liniowego.

Użyj kolejności operacji, aby uprościć.

Tak = 50(1 + 4) ^x

Tak = 50(1 + 4)⁸

Tak = 50(5)⁸(Nawias)

Tak = 50(390,625) (wykładnik)

Tak = 19 531 250 (pomnóż)

19 531 250 kupujących

Wykładniczy wzrost przychodów ze sprzedaży detalicznej

Przed początkiem recesji miesięczny przychód sklepu oscylował wokół 800 000 USD. Sklep przychód to łączna kwota, jaką klienci wydają w sklepie na towary i usługi.

Przychody Edloe i Co.

• Przed recesją: 800 000 USD
• 1 miesiąc po recesji: 880 000 $
• 2 miesiące po recesji: 968 000 $
• 3 miesiące po recesji: 1 171 280 USD
• 4 miesiące po recesji: 1 288 408 $

Ćwiczenia

Wykorzystaj informacje o dochodach Edloe and Co, aby ukończyć od 1 do 7.

1. Jakie są pierwotne dochody?
2. Jaki jest czynnik wzrostu?
3. Jak te dane modelują wzrost wykładniczy?
4. Napisz funkcję wykładniczą opisującą te dane.
5. Napisz funkcję do przewidywania przychodów w piątym miesiącu po rozpoczęciu recesji.
6. Jakie są przychody w piątym miesiącu po rozpoczęciu recesja ?
7. Załóżmy, że domeną tej funkcji wykładniczej jest 16 miesięcy. Innymi słowy, załóżmy, że recesja potrwa 16 miesięcy. W którym momencie przychody przekroczą 3 miliony dolarów?