Czym jest paradoks petersburski?

RBFried/Getty Images

Jesteś na ulicach Sankt Petersburga w Rosji, a stary człowiek proponuje następującą grę. Rzuca monetą (i pożyczy jedną z twoich, jeśli nie ufasz, że jest uczciwa). Jeśli wyląduje na ogonie, przegrywasz i gra się kończy. Jeśli moneta wypadnie heads-up, wygrywasz jeden rubel i gra toczy się dalej. Moneta jest ponownie rzucana. Jeśli to ogony, gra się kończy. Jeśli jest to orła, wygrywasz dodatkowe dwa ruble. Gra toczy się dalej w ten sposób. Za każdą kolejną głowę podwajamy nasze wygrane z poprzedniej rundy, ale przy znaku pierwszego ogona gra się kończy.

Ile zapłaciłbyś za grę w tę grę? Kiedy weźmiemy pod uwagę wartość oczekiwana tej gry, powinieneś skorzystać z okazji, bez względu na koszt gry. Jednak z powyższego opisu prawdopodobnie nie byłbyś skłonny płacić dużo. W końcu istnieje 50% prawdopodobieństwo, że nic nie wygrasz. Jest to tzw. paradoks petersburski, nazwany ze względu na publikację Daniela Bernoulli . z 1738 r Komentarze Cesarskiej Akademii Nauk w Sankt Petersburgu .

Niektóre prawdopodobieństwa

Zacznijmy od obliczenia prawdopodobieństwa związane z tą grą. Prawdopodobieństwo, że uczciwa moneta trafi na głowę, wynosi 1/2. Każdy rzut monetą jest niezależnym zdarzeniem, więc prawdopodobieństwa mnożymy, ewentualnie za pomocą a schemat drzewa .

• Prawdopodobieństwo dwóch reszek z rzędu wynosi (1/2)) x (1/2) = 1/4.
• Prawdopodobieństwo trzech orłów z rzędu wynosi (1/2) x (1/2) x (1/2) = 1/8.
• Aby wyrazić prawdopodobieństwo n głowy w rzędzie, gdzie n jest dodatnią liczbą całkowitą, której używamy wykładników, aby zapisać 1/2 ⁿ .

Niektóre wypłaty

Przejdźmy teraz dalej i zobaczmy, czy możemy uogólnić, jakie byłyby wygrane w każdej rundzie.

• Jeśli masz głowę w pierwszej rundzie, wygrywasz jeden rubel za tę rundę.
• Jeśli w drugiej rundzie jest głowa, wygrywasz w tej rundzie dwa ruble.
• Jeśli w trzeciej rundzie jest głowa, wygrywasz w tej rundzie cztery ruble.
• Jeśli udało Ci się dotrzeć do celu n ^tenrunda, wtedy wygrasz 2 ^n-1 rubli w tej rundzie.

Oczekiwana wartość gry

Oczekiwana wartość gry mówi nam, jaka byłaby średnia wygrana, gdybyś grał w tę grę wiele, wiele razy. Aby obliczyć oczekiwaną wartość, mnożymy wartość wygranych z każdej rundy przez prawdopodobieństwo dostania się do tej rundy, a następnie dodajemy wszystkie te produkty razem.

• Od pierwszej rundy masz prawdopodobieństwo 1/2 i wygraną 1 rubla: 1/2 x 1 = 1/2
• Z drugiej rundy masz prawdopodobieństwo 1/4 i wygraną 2 rubli: 1/4 x 2 = 1/2
• Od pierwszej rundy masz prawdopodobieństwo 1/8 i wygrane 4 ruble: 1/8 x 4 = 1/2
• Od pierwszej rundy masz prawdopodobieństwo 1/16 i wygraną 8 rubli: 1/16 x 8 = 1/2
• Od pierwszej rundy masz prawdopodobieństwo 1/2 ⁿ i wygrane 2 ^n-1 rubli: 1/2 ⁿ x 2 ^n-1 = 1/2

Wartość z każdej rundy to 1/2, a zsumowanie wyników z pierwszej n rund razem daje nam oczekiwaną wartość n /2 rubli. Odkąd n może być dowolną dodatnią liczbą całkowitą, oczekiwana wartość jest nieograniczona.

Paradoks

Więc co powinieneś zapłacić za grę? Rubla, tysiąca rubli, a nawet miliard na dłuższą metę wszystkie ruble byłyby niższe od oczekiwanej wartości. Pomimo powyższej kalkulacji obiecującej niewypowiedziane bogactwa, wszyscy nadal bylibyśmy niechętni, aby płacić bardzo dużo za grę.

Istnieje wiele sposobów rozwiązania tego paradoksu. Jednym z prostszych sposobów jest to, że nikt nie zaoferowałby gry takiej jak ta opisana powyżej. Nikt nie ma nieskończonych zasobów, których potrzeba, aby zapłacić komuś, kto nadal rzucał głowami.

Innym sposobem rozwiązania tego paradoksu jest wskazanie, jak nieprawdopodobne jest zdobycie około 20 głów z rzędu. The szanse z tego wydarzenia są lepsze niż wygranie większości loterii państwowych. Ludzie rutynowo grają w takie loterie za pięć dolarów lub mniej. Tak więc cena za grę w Petersburgu prawdopodobnie nie powinna przekraczać kilku dolarów.

Jeśli mężczyzna w Petersburg mówi, że gra w jego grę będzie kosztować więcej niż kilka rubli, należy grzecznie odmówić i odejść. Ruble i tak nie są wiele warte.