Wzory na moment bezwładności

The moment bezwładności obiektu to wartość liczbowa, którą można obliczyć dla dowolnego ciała sztywnego, które podlega fizycznemu obrotowi wokół ustalonej osi. Opiera się nie tylko na fizycznym kształcie obiektu i jego rozkładzie masy, ale także na specyficznej konfiguracji tego, w jaki sposób obiekt się obraca. Zatem ten sam obiekt obracający się na różne sposoby miałby w każdej sytuacji inny moment bezwładności.

01 z 11

Ogólna formuła

Ogólny wzór na wyprowadzenie momentu bezwładności. Andrew Zimmerman Jones

Ogólna formuła reprezentuje najbardziej podstawowe pojęciowe rozumienie momentu bezwładności. Zasadniczo, dla dowolnego obracającego się obiektu, moment bezwładność można obliczyć, biorąc odległość każdej cząstki od osi obrotu ( r w równaniu), podnosząc tę ​​wartość do kwadratu (to jest r ^dwatermin) i pomnożenie go przez masa tej cząstki. Robisz to dla wszystkich cząstek, które tworzą obracający się obiekt, a następnie dodajesz te wartości do siebie i to daje moment bezwładności.

Konsekwencją tego wzoru jest to, że ten sam obiekt otrzymuje różną wartość momentu bezwładności, w zależności od tego, jak się obraca. Nowa oś obrotu kończy się inną formułą, nawet jeśli fizyczny kształt obiektu pozostaje taki sam.

Ten wzór jest najbardziej „brute force” podejściem do obliczania momentu bezwładności. Inne podane formuły są zwykle bardziej przydatne i reprezentują najczęstsze sytuacje, w jakie napotykają fizycy.

02 z 11

Kompleksowa formuła

Ogólna formuła jest przydatna, gdy obiekt można traktować jako zbiór dyskretnych punktów, które można sumować. Jednak w przypadku bardziej skomplikowanego obiektu może być konieczne zastosowanie rachunek różniczkowy przejąć całkę przez całą objętość. Zmienna r jest promień wektor od punktu do osi obrotu. Formuła p ( r ) jest funkcją gęstości masy w każdym punkcie r:

I-sub-P równa się sumie i od 1 do N wielkości m-sub-i razy r-sub-i do kwadratu.

03 z 11

Solidna Kula

Pełna kula obracająca się wokół osi przechodzącej przez środek kuli o masie M i promień R , ma moment bezwładności określony wzorem:

ja = (2/5) PAN ^dwa

04 z 11

Pusta kula o cienkich ścianach

Pusta kula z cienką, nieistotną ścianą obracającą się wokół osi przechodzącej przez środek kuli, o masie M i promień R , ma moment bezwładności określony wzorem:

ja = (2/3) PAN ^dwa

05 z 11

Solidny cylinder

Solidny walec obracający się wokół osi przechodzącej przez środek walca, o masie M i promień R , ma moment bezwładności określony wzorem:

ja = (1/2) PAN ^dwa

06 z 11

Pusty, cienkościenny cylinder

Pusty cylinder o cienkiej, nieistotnej ściance obracającej się wokół osi przechodzącej przez środek cylindra, o masie M i promień R , ma moment bezwładności określony wzorem:

ja = PAN ^dwa

07 z 11

Pusty cylinder

Pusty cylinder obracający się wokół osi przechodzącej przez środek cylindra, o masie M , promień wewnętrzny R ₁i promień zewnętrzny R _dwa, ma moment bezwładności określony wzorem:

ja = (1/2) M ( R ₁^dwa+ R _dwa^dwa)

Notatka: Jeśli wziąłeś tę formułę i ustawiłeś R ₁= R _dwa= R (lub, bardziej odpowiednio, przyjął granicę matematyczną jako R ₁oraz R _dwa​podejdź do wspólnego promienia R ), otrzymasz wzór na moment bezwładności wydrążonego cienkościennego cylindra.

08 z 11

Płyta prostokątna, oś przez środek

Cienka prostokątna płyta, obracająca się wokół osi prostopadłej do środka płyty, o masie M i długości boków a oraz b , ma moment bezwładności określony wzorem:

Ja = (1/12) M ( a ^dwa+ b ^dwa)

09 z 11

Płyta prostokątna, oś wzdłuż krawędzi

Cienka prostokątna płyta, obracająca się wokół osi wzdłuż jednej krawędzi płyty, o masie M i długości boków a oraz b , gdzie a jest odległością prostopadłą do osi obrotu, ma moment bezwładności określony wzorem:

Ja = (1/3) I ^dwa

10 z 11

Smukły pręt, oś przez środek

Smukły pręt obracający się na osi przechodzącej przez środek pręta (prostopadle do jego długości), o masie M i długość L , ma moment bezwładności określony wzorem:

I = (1/12) ML ^dwa

11 z 11

Smukły pręt, oś przez jeden koniec

Smukły pręt obracający się na osi przechodzącej przez koniec pręta (prostopadle do jego długości), o masie M i długość L , ma moment bezwładności określony wzorem:

Ja = (1/3) ML ^dwa