Wskazówki i zasady dotyczące określania znaczących liczb

xijian/E+/Getty Images

Każdy pomiar ma stopień niepewność powiązany z tym. Niepewność wynika z urządzenia pomiarowego i umiejętności osoby dokonującej pomiaru. Naukowcy podają pomiary przy użyciu liczb znaczących, aby odzwierciedlić tę niepewność.

Weźmy na przykład pomiar objętości. Powiedz, że jesteś w laboratorium chemiczne i potrzebujesz 7 ml wody. Możesz wziąć nieoznaczoną filiżankę kawy i dodawać wody, aż myślisz, że masz około 7 mililitrów. W tym przypadku większość błędu pomiaru związana jest z umiejętnościami osoby dokonującej pomiaru. Możesz użyć zlewki oznaczonej co 5 ml. Za pomocą zlewki można łatwo uzyskać objętość od 5 do 10 ml, prawdopodobnie bliską 7 ml, dawać lub brać 1 ml. Jeśli użyłeś pipety oznaczonej 0,1 ml, możesz całkiem niezawodnie uzyskać objętość od 6,99 do 7,01 ml. Nieprawdą byłoby zgłaszanie, że zmierzyłeś 7.000 ml za pomocą któregokolwiek z tych urządzeń, ponieważ nie zmierzyłeś objętości z dokładnością do najbliższego mikrolitr . Zgłosiłbyś swoje pomiar przy użyciu cyfr znaczących. Obejmują one wszystkie cyfry, które znasz na pewno oraz ostatnią cyfrę, która zawiera pewną niepewność.

Zasady dotyczące znaczących cyfr

• Cyfry różne od zera są zawsze znaczące.
• Wszystkie zera między innymi cyframi znaczącymi są znaczące.
• Liczbę cyfr znaczących określa się zaczynając od skrajnej lewej cyfry niezerowej. Skrajna lewa cyfra niezerowa jest czasami nazywana najbardziej znacząca cyfra albo najbardziej znacząca postać . Na przykład w liczbie 0,004205 najbardziej znacząca jest cyfra „4”. Zera po lewej stronie nie są znaczące. Zero między „2” a „5” jest znaczące.
• Pierwsza cyfra liczby dziesiętnej jest najmniej znaczącą cyfrą lub najmniejszą cyfrą znacząca postać . Innym sposobem spojrzenia na najmniej znaczącą liczbę jest uznanie jej za cyfrę po prawej stronie, gdy liczba jest zapisana w notacji naukowej. Liczby najmniej znaczące są nadal znaczące! W liczbie 0,004205 (którą można zapisać jako 4,205 x 10^-3), cyfra „5” jest najmniej znaczącą liczbą. W liczbie 43,120 (co można zapisać jako 4,3210 x 10¹), „0” jest najmniej znaczącą cyfrą.
• Jeśli nie ma przecinka dziesiętnego, ostatnia z prawej niezerowa cyfra jest cyfrą najmniej znaczącą. W liczbie 5800 najmniej znaczącą cyfrą jest „8”.

Niepewność obliczeń

Mierzone wielkości są często używane w obliczeniach. Dokładność obliczeń jest ograniczona precyzją pomiarów, na których są oparte.

Dodawanie i odejmowanie
Gdy mierzone wielkości są dodawane lub odejmowane, niepewność jest określana przez niepewność bezwzględną najmniej dokładnego pomiaru (nie przez liczbę cyfr znaczących). Czasami uważa się, że jest to liczba cyfr po przecinku.
32,01 m²
5,325 m²
12 m
W sumie otrzymasz 49,335 m, ale suma powinna być zgłoszona jako '49' metrów.
Mnożenie i dzielenie
Gdy wielkości doświadczalne są mnożone lub dzielone, liczba cyfr znaczących w wyniku jest taka sama, jak w ilości o najmniejszej liczbie cyfr znaczących. Jeśli na przykład a obliczanie gęstości Jeśli 25,624 gramów dzieli się przez 25 ml, gęstość należy podać jako 1,0 g/mL, a nie jako 1,0000 g/mL lub 1000 g/mL.

Utrata znaczących liczb

Czasami podczas wykonywania obliczeń znaczące liczby są „tracone”. Na przykład, jeśli znajdziesz masę zlewka aby wynieść 53,110 g, dodaj wodę do zlewki i znajdź masę zlewki z wodą na 53,987 g, masa wody wynosi 53,987-53,110 g = 0,877 g
Ostateczna wartość ma tylko trzy cyfry znaczące, mimo że każdy pomiar masy zawierał 5 cyfr znaczących.

Zaokrąglanie i skracanie liczb

Istnieją różne metody zaokrąglania liczb. Typową metodą jest zaokrąglanie liczb z cyframi mniejszymi niż 5 w dół i liczb z cyframi większymi niż 5 w górę (niektórzy ludzie zaokrąglają dokładnie 5 w górę, a inni w dół).

Przykład:
Jeśli odejmujesz 7,799 g - 6,25 g, twoje obliczenie daje 1,549 g. Liczba ta zostanie zaokrąglona do 1,55 g, ponieważ cyfra „9” jest większa niż „5”.

W niektórych przypadkach liczby są obcinane lub skracane, a nie zaokrąglane w celu uzyskania odpowiednich cyfr znaczących. W powyższym przykładzie 1,549 g mogło zostać skrócone do 1,54 g.

Dokładne liczby

Czasami liczby używane w obliczeniach są dokładne, a nie przybliżone. Dzieje się tak w przypadku korzystania z określonych wielkości, w tym wielu współczynników konwersji, oraz w przypadku korzystania z czystych liczb. Czyste lub zdefiniowane liczby nie wpływają na dokładność obliczeń. Możesz myśleć o nich jako o nieskończonej liczbie cyfr znaczących. Czyste liczby są łatwe do zauważenia, ponieważ nie mają jednostek. Zdefiniowane wartości lub przeliczniki , podobnie jak wartości zmierzone, mogą mieć jednostki. Ćwicz ich identyfikowanie!

Przykład:
Chcesz obliczyć średnią wysokość trzech roślin i zmierzyć następujące wysokości: 30,1 cm, 25,2 cm, 31,3 cm; o średniej wysokości (30,1 + 25,2 + 31,3)/3 = 86,6/3 = 28,87 = 28,9 cm. Na wysokościach znajdują się trzy znaczące postacie. Nawet jeśli dzielisz sumę przez jedną cyfrę, w obliczeniach należy zachować trzy cyfry znaczące.

Dokładność i precyzja

Dokładność i precyzja to dwie odrębne koncepcje. Klasyczną ilustracją, która je odróżnia, jest rozważenie tarczy lub tarczy. Strzałki otaczające dziesiątkę wskazują wysoki stopień dokładności; strzałki bardzo blisko siebie (prawdopodobnie nigdzie w pobliżu tarczy) wskazują na wysoki stopień precyzji. Aby być dokładnym, strzała musi znajdować się blisko celu; aby być precyzyjnym, kolejne strzały muszą znajdować się blisko siebie. Konsekwentne uderzanie w sam środek tarczy oznacza zarówno celność, jak i precyzję.

Rozważ wagę cyfrową. Jeśli wielokrotnie ważysz tę samą pustą zlewkę, waga poda wartości z dużą dokładnością (powiedzmy 135,776 g, 135,775 g, 135,776 g). Rzeczywista masa zlewki może być bardzo różna. Wagi (i inne przyrządy) wymagają kalibracji! Przyrządy zazwyczaj zapewniają bardzo dokładne odczyty, ale dokładność wymaga kalibracji. Termometry są notorycznie niedokładne, często wymagają ponownej kalibracji kilka razy w okresie użytkowania przyrządu. Wagi również wymagają ponownej kalibracji, zwłaszcza jeśli są przenoszone lub źle traktowane.

Źródła

• de Oliveira Sannibale, Virginio (2001). ' Pomiary i znaczące liczby „. Laboratorium Fizyki dla studentów pierwszego roku . Kalifornijski Instytut Technologii, Wydział Fizyki, Matematyki i Astronomii.
• Myers, R. Thomas; Oldham, Keith B.; Tocci, Salvatore (2000). Chemia . Austin, Teksas: Holt Rinehart Winston. ISBN 0-03-052002-9.