Skrót do formuły sumy kwadratów

Skrót do formuły sumy kwadratów. C.K.Taylor

Obliczenie próbka wariancja lub odchylenie standardowe jest zwykle określany jako ułamek. Licznik tego ułamka zawiera sumę kwadratów odchyleń od średniej. W statystykach , wzór na tę sumę kwadratów to

S (x_i- x)^dwa

Tutaj symbol x̄ odnosi się do średniej próbki, a symbol Σ mówi nam, abyśmy zsumowali podniesione do kwadratu różnice (x_i- x̄) dla wszystkich i .

Chociaż ta formuła działa w przypadku obliczeń, istnieje równoważna, skrótowa formuła, która nie wymaga od nas wcześniejszego obliczenia średnia próbki . Ten skrót na sumę kwadratów to

S(x_i^dwa)-(S x_i)^dwa/ n

Tutaj zmienna n odnosi się do liczby punktów danych w naszej próbce.

Przykład formuły standardowej

Aby zobaczyć, jak działa ta formuła skrótu, rozważymy przykład, który jest obliczany przy użyciu obu formuł. Załóżmy, że nasza próbka to 2, 4, 6, 8. Średnia próbki to (2 + 4 + 6 + 8)/4 = 20/4 = 5. Teraz obliczamy różnicę każdego punktu danych ze średnią 5.

• 2 – 5 = -3
• 4 – 5 = -1
• 6 – 5 = 1
• 8 – 5 = 3

Teraz podnosimy każdą z tych liczb do kwadratu i dodajemy je do siebie. (-3)^dwa+ (-1)^dwa+ 1^dwa+ 3^dwa= 9 + 1 + 1 + 9 = 20.

Przykład formuły skrótu

Teraz użyjemy tego samego zestawu danych: 2, 4, 6, 8, ze skrótem do określenia sumy kwadratów. Najpierw kwadratujemy każdy punkt danych i dodajemy je do siebie: 2^dwa+ 4^dwa+ 6^dwa+ 8^dwa= 4 + 16 + 36 + 64 = 120.

Następnym krokiem jest zsumowanie wszystkich danych i podniesienie tej sumy do kwadratu: (2 + 4 + 6 + 8)^dwa= 400. Dzielimy to przez liczbę punktów danych, aby otrzymać 400/4 =100.

Teraz odejmujemy tę liczbę od 120. To daje nam, że suma kwadratów odchyleń wynosi 20. To była dokładnie ta liczba, którą już znaleźliśmy z innego wzoru.

Jak to działa?

Wiele osób po prostu zaakceptuje formułę za dobrą monetę i nie ma pojęcia, dlaczego ta formuła działa. Używając trochę algebry, możemy zobaczyć, dlaczego ten skrótowy wzór jest odpowiednikiem standardowego, tradycyjnego sposobu obliczania sumy kwadratów odchyleń.

Chociaż w rzeczywistym zestawie danych mogą istnieć setki, jeśli nie tysiące wartości, założymy, że są tylko trzy wartości danych: x₁, x_dwa, x₃. To, co tutaj widzimy, można rozszerzyć do zbioru danych, który ma tysiące punktów.

Zaczynamy od odnotowania, że( x₁+ x_dwa+ x₃) = 3x̄. Wyrażenie Σ(x_i- x)^dwa= (x₁- x)^dwa+ (x_dwa- x)^dwa+ (x₃- x)^dwa.

Używamy teraz faktu z podstawowej algebry, że (a + b)^dwa= a^dwa+2ab + b^dwa. Oznacza to, że (x₁- x)^dwa= x₁^dwa-2x₁x̄+ x̄^dwa. Robimy to dla pozostałych dwóch warunków naszego podsumowania i mamy:

x₁^dwa-2x₁x̄+ x̄^dwa+ x_dwa^dwa-2x_dwax̄+ x̄^dwa+ x₃^dwa-2x₃x̄+ x̄^dwa.

Przestawiamy to i mamy:

x₁^dwa+ x_dwa^dwa+ x₃^dwa+ 3x̄^dwa- 2x̄(x₁+ x_dwa+ x₃) .

Przepisując (x₁+ x_dwa+ x₃) = 3x̄ powyższe staje się:

x₁^dwa+ x_dwa^dwa+ x₃^dwa- 3x̄^dwa.

Teraz od 3x̄^dwa= (x₁+ x_dwa+ x₃)^dwa/3 nasza formuła staje się:

x₁^dwa+ x_dwa^dwa+ x₃^dwa- (x₁+ x_dwa+ x₃)^dwa/3

I to jest szczególny przypadek wspomnianej wyżej ogólnej formuły:

S(x_i^dwa)-(S x_i)^dwa/ n

Czy to naprawdę skrót?

Może się wydawać, że ta formuła nie jest naprawdę skrótem. W końcu w powyższym przykładzie wydaje się, że jest tyle samo obliczeń. Częściowo ma to związek z faktem, że przyjrzeliśmy się tylko małej próbce.

Gdy zwiększamy rozmiar naszej próbki, widzimy, że formuła skrótu zmniejsza liczbę obliczeń o około połowę. Nie musimy odejmować średniej od każdego punktu danych, a następnie podnosić wynik do kwadratu. To znacznie zmniejsza całkowitą liczbę operacji.