Obliczanie współczynnika korelacji

Ilustracja autorstwa Hugo Lin. Myśl Co.

Patrząc na wykres rozrzutu, należy zadać wiele pytań. Jednym z najczęstszych jest zastanawianie się, jak dobrze linia prosta przybliża dane. Aby odpowiedzieć na to pytanie, istnieje opisowa statystyka zwana współczynnikiem korelacji. Zobaczymy, jak obliczyć tę statystykę.

Współczynnik korelacji

TheWspółczynnik korelacji, oznaczony przez r , informuje nas, jak bardzo dane w a wykres punktowy spaść wzdłuż linii prostej. Im bliżej tego wartość bezwzględna z r to jeden, tym lepiej, że dane są opisane równaniem liniowym. Jeśli r =1 lub r = -1 wtedy zestaw danych jest idealnie wyrównany. Zbiory danych o wartościach r bliskie zeru wykazują niewielką lub żadną zależność liniową.

Ze względu na czasochłonne obliczenia najlepiej obliczyć r za pomocą kalkulatora lub oprogramowania statystycznego. Jednak zawsze warto postarać się wiedzieć, co robi Twój kalkulator, gdy oblicza. Poniżej przedstawiono proces obliczania współczynnika korelacji głównie ręcznie, za pomocą kalkulatora używanego do rutynowych kroków arytmetycznych.

Kroki do obliczenia r

Zaczniemy od wyliczenia kroków do obliczenia współczynnika korelacji. Dane, z którymi pracujemy, to

Zaczynamy od kilku wstępnych obliczeń. Ilości z tych obliczeń zostaną wykorzystane w kolejnych krokach naszego obliczenia r :

1. Oblicz x̄, oznaczaćwszystkich pierwszych współrzędnych danych x_i .
2. Oblicz ȳ, średnią wszystkich drugich współrzędnych danych
3. Tak_i .
4. Oblicz s_x próbka odchylenie standardowe wszystkich pierwszych współrzędnych danych x_i .
5. Oblicz s_Tak odchylenie standardowe próbki wszystkich drugich współrzędnych danych Tak_i .

Użyj formuły (z_x)_i = ( x_i - x) / s_x i oblicz znormalizowaną wartość dla każdego x_i .

Użyj formuły (z_Tak)_i = ( Tak_i – ) / s_Tak i oblicz znormalizowaną wartość dla każdego Tak_i .

Pomnóż odpowiadające wartości znormalizowane: (z_x)_i(z_Tak)_i

Dodaj produkty z ostatniego kroku razem.

Podziel sumę z poprzedniego kroku przez n – 1, gdzie n to całkowita liczba punktów w naszym zestawie sparowanych danych. Wynikiem tego wszystkiego jest współczynnik korelacji r .

Ten proces nie jest trudny, a każdy krok jest dość rutynowy, ale zebranie wszystkich tych kroków jest dość skomplikowane. Samo obliczenie odchylenia standardowego jest dość żmudne. Ale obliczenie współczynnika korelacji obejmuje nie tylko dwa odchylenia standardowe, ale wiele innych operacji.

Przykład

Aby zobaczyć dokładnie, jak wartość r otrzymujemy, patrzymy na przykład. Ponownie, ważne jest, aby pamiętać, że do praktycznych zastosowań chcielibyśmy użyć naszego kalkulatora lub oprogramowania statystycznego do obliczeń r dla nas.

Zaczynamy od zestawienia sparowanych danych: (1, 1), (2, 3), (4, 5), (5,7). Średnia x wartości, średnia z 1, 2, 4 i 5 wynosi x̄ = 3. Mamy również, że ȳ = 4. Odchylenie standardowe

x wartości to s_x = 1,83 i s_Tak = 2,58. Poniższa tabela podsumowuje inne obliczenia potrzebne do r . Suma produktów w skrajnej prawej kolumnie to 2,969848. Ponieważ są w sumie cztery punkty i 4 – 1 = 3, sumę produktów dzielimy przez 3. To daje nam współczynnik korelacji równy r = 2,969848/3 = 0,989949.

Tabela przykładowa obliczania współczynnika korelacji

x	Tak	zx	zTak	zxzTak
1	1	-1,09544503	-1.161894958	1,272792057
dwa	3	-0,547722515	-0,387298319	0,212132009
4	5	0,547722515	0,387298319	0,212132009
5	7	1.09544503	1.161894958	1,272792057