Kinematyka dwuwymiarowa lub ruch w płaszczyźnie

Daniel Grill / Getty Images

W tym artykule przedstawiono podstawowe pojęcia niezbędne do analizy ruchu obiektów w dwóch wymiarach, bez względu na siły, które powodują przyspieszenie. Przykładem tego typu problemu może być rzucanie piłki lub strzelanie kulą armatnią. Zakłada znajomość kinematyka jednowymiarowa , ponieważ rozszerza te same pojęcia do dwuwymiarowej przestrzeni wektorowej.

Wybór współrzędnych

Kinematyka obejmuje przemieszczenie, prędkość i przyspieszenie, które są wielkości wektorowe które wymagają zarówno wielkości, jak i kierunku. Dlatego, aby rozpocząć zadanie w kinematyce dwuwymiarowej, należy najpierw zdefiniować system współrzędnych ty używasz. Generalnie będzie to pod względem x -oś i a Tak -osi, zorientowanej tak, że ruch jest w kierunku dodatnim, chociaż mogą zaistnieć okoliczności, w których nie jest to najlepsza metoda.

W przypadkach, w których rozważana jest grawitacja, zwyczajowo określa się kierunek grawitacji w kierunku ujemnym Tak kierunek. Jest to konwencja, która ogólnie upraszcza problem, chociaż byłoby możliwe wykonanie obliczeń z inną orientacją, jeśli naprawdę tego chcesz.

Wektor prędkości

Wektor pozycji r to wektor, który biegnie od początku układu współrzędnych do danego punktu w układzie. Zmiana pozycji (Δ r , wymawiane „Delta r ') to różnica między punktem początkowym ( r ₁) do punktu końcowego ( r _dwa). Definiujemy Średnia prędkość ( w _z ) jak:

w _z = ( r _dwa- r ₁) / ( t _dwa- t ₁) = D r /D t

Biorąc limit jako Δ t zbliża się do 0, osiągamy chwilowa prędkość w . W kategoriach rachunku różniczkowego jest to pochodna r z szacunkiem do t , lub d r / dt .

W miarę zmniejszania się różnicy czasu punkt początkowy i końcowy zbliżają się do siebie. Od kierunku r jest w tym samym kierunku co w staje się jasne, że wektor prędkości chwilowej w każdym punkcie toru jest styczny do toru .

Składniki prędkości

Użyteczną cechą wielkości wektorowych jest to, że można je podzielić na ich wektory składowe. Pochodna wektora jest sumą jego pochodnych składowych, dlatego:

w_x = dx / dt
w_Tak = ty / dt

Wielkość wektora prędkości jest podana przez twierdzenie Pitagorasa w postaci:

| w | = w = sqrt ( w_x ^dwa+ w_Tak ^dwa)

Kierunek w jest zorientowany alfa stopni przeciwnie do ruchu wskazówek zegara od x -component i można je obliczyć z następującego równania:

więc alfa = w_Tak / w_x

Wektor przyspieszenia

Przyśpieszenie jest zmianą prędkości w danym okresie czasu. Podobnie jak w powyższej analizie, okazuje się, że jest to Δ w /D t . Limit tego jako Δ t zbliża się do 0 daje pochodną w z szacunkiem do t .

W odniesieniu do składowych wektor przyspieszenia można zapisać jako:

a_x = dv_x / dt
a_Tak = dv_Tak / dt

lub

a_x = d ^dwa x / dt ^dwa
a_Tak = d ^dwa Tak / dt ^dwa

Wielkość i kąt (oznaczone jako beta odróżnić od alfa ) wektora przyspieszenia netto są obliczane ze składowymi w sposób podobny do składowych dla prędkości.

Praca z komponentami

Często kinematyka dwuwymiarowa polega na rozbiciu odpowiednich wektorów na ich x - oraz Tak -components, a następnie analizując każdy z komponentów tak, jakby były jednowymiarowymi przypadkami. Po zakończeniu tej analizy składowe prędkości i/lub przyspieszenia są następnie ponownie łączone w celu uzyskania dwuwymiarowych wektorów prędkości i/lub przyspieszenia.

Kinematyka trójwymiarowa

Wszystkie powyższe równania można rozszerzyć na ruch w trzech wymiarach, dodając a z -komponent do analizy. Jest to na ogół dość intuicyjne, chociaż należy zachować ostrożność, aby upewnić się, że jest to zrobione we właściwym formacie, szczególnie w odniesieniu do obliczania kąta orientacji wektora.

Edytowany przezdr Anne Marie Helmenstine