Kinematyka jednowymiarowa: ruch wzdłuż linii prostej

Ray Wise/Getty Images

Przed rozpoczęciem zadania z kinematyki musisz ustawić swój układ współrzędnych. W kinematyce jednowymiarowej jest to po prostu x -oś i kierunek ruchu jest zwykle dodatni x kierunek.

Chociaż przemieszczenie, prędkość i przyspieszenie to wszystko wielkości wektorowe , w przypadku jednowymiarowym wszystkie mogą być traktowane jako wielkości skalarne z wartościami dodatnimi lub ujemnymi wskazującymi ich kierunek. Dodatnie i ujemne wartości tych wielkości są określane przez wybór sposobu wyrównania układu współrzędnych.

Prędkość w kinematyce jednowymiarowej

Prędkość reprezentuje tempo zmian przemieszczenia w określonym czasie.

Przemieszczenie w jednym wymiarze jest ogólnie reprezentowane w odniesieniu do punktu początkowego x₁ oraz x_dwa . Czas, w którym dany obiekt znajduje się w każdym punkcie, jest oznaczony jako t₁ oraz t_dwa (zawsze zakładając, że t_dwa jest później niż t₁ , ponieważ czas płynie tylko w jedną stronę). Zmiana ilości z jednego punktu do drugiego jest ogólnie oznaczona grecką literą delta, Δ, w postaci:

Korzystając z tych notacji można określić Średnia prędkość ( w_z ) W następujący sposób:

w_z = ( x_dwa - x₁ ) / ( t_dwa - t₁ ) = D x / D t

Jeśli zastosujesz limit jako Δ t zbliża się do 0, otrzymujesz chwilowa prędkość w określonym punkcie ścieżki. Taka granica w rachunku różniczkowym jest pochodną x z szacunkiem do t , lub dx / dt .

Przyspieszenie w kinematyce jednowymiarowej

Przyśpieszenie reprezentuje tempo zmian prędkości w czasie. Korzystając z wprowadzonej wcześniej terminologii, widzimy, że średnie przyspieszenie ( a_z ) jest:

a_z = ( w_dwa - w₁ ) / ( t_dwa - t₁ ) = D x / D t

Ponownie możemy zastosować limit jako Δ t zbliża się do 0, aby uzyskać przyspieszenie chwilowe w określonym punkcie ścieżki. Reprezentacja rachunku różniczkowego jest pochodną w z szacunkiem do t , lub dv / dt . Podobnie, ponieważ w jest pochodną x , przyspieszenie chwilowe jest drugą pochodną x z szacunkiem do t , lub d ^dwa x / dt ^dwa.

Stałe przyspieszenie

W kilku przypadkach, takich jak pole grawitacyjne Ziemi, przyspieszenie może być stałe – innymi słowy, prędkość zmienia się w tym samym tempie podczas ruchu.

Korzystając z naszej wcześniejszej pracy, ustaw czas na 0, a czas zakończenia jako t (zdjęcie rozpoczynające stoper od 0 i kończące w momencie zainteresowania). Prędkość w czasie 0 jest w ₀a czasem t jest w , dając następujące dwa równania:

a = ( w - w ₀)/( t - 0)

w = w ₀+ w

Stosując wcześniejsze równania dla w_z dla x ₀w czasie 0 i x o czasie t , a po zastosowaniu kilku manipulacji (których tutaj nie udowodnię) otrzymujemy:

x = x ₀+ w ₀ t + 0,5 w ^dwa

w ^dwa= w ₀^dwa+ 2 a ( x - x ₀)

x - x ₀= ( w ₀+ w ) t / dwa

Powyższe równania ruchu ze stałym przyspieszeniem można wykorzystać do rozwiązania każdy problem kinematyczny polegający na ruchu cząstki w linii prostej ze stałym przyspieszeniem.