Jak wyprowadzić wzór na kombinacje
PeopleImages.com / Getty Images
Po obejrzeniu formuł wydrukowanych w podręczniku lub zapisanych na tablicy przez nauczyciela, czasami zaskakujące jest odkrycie, że wiele z tych formuł można wyprowadzić z pewnych podstawowych definicji i uważnego przemyślenia. Dotyczy to w szczególności prawdopodobieństwa podczas badania wzoru na kombinacje. Wyprowadzenie tej formuły tak naprawdę opiera się na zasadzie mnożenia.
Zasada mnożenia
Załóżmy, że jest zadanie do wykonania, które jest podzielone na dwa etapy. Pierwszy krok można zrobić w k sposoby, a drugi krok można wykonać w n sposoby. Oznacza to, że pomnożeniete liczby razem, liczba sposobów wykonania zadania wynosi Jak na przykład .
Na przykład, jeśli masz dziesięć rodzajów lodów do wyboru i trzy różne dodatki, ile jednej gałki, jednego toppingu możesz zrobić? Pomnóż trzy przez 10, aby otrzymać 30 deserów lodowych.
Tworzenie permutacji
Teraz użyj zasady mnożenia, aby wyprowadzić wzór na liczbę kombinacji r elementy zaczerpnięte ze zbioru n elementy. Wynajmować P(n,r) oznaczać liczbę permutacje z r elementy z zestawu n oraz C(n,r) oznaczają liczbę kombinacji r elementy z zestawu n elementy.
Zastanów się, co się dzieje podczas tworzenia permutacji r elementy z sumy n . Spójrz na to jako na dwuetapowy proces. Najpierw wybierz zestaw r elementy z zestawu n . To jest kombinacja i są C (n, r) sposoby na zrobienie tego. Drugim krokiem w procesie jest zamówienie r elementy z r wybory na pierwsze, r - 1 wybór na drugi, r - 2 na trzeci, 2 wybory na przedostatni i 1 na ostatni. Zgodnie z zasadą mnożenia istnieją r x ( r -1 ) x . . . x 2 x 1 = r ! sposoby, aby to zrobić. Ta formuła jest napisana za pomocą notacja silnia .
Wyprowadzenie wzoru
Przypomnę, P ( n , r ), liczba sposobów utworzenia permutacji r elementy z sumy n jest określana przez:
- Tworząc kombinację r elementy z sumy n w którymkolwiek z C ( n , r ) sposoby
- Zamawianie tych r elementy dowolnego z r ! sposoby.
Zgodnie z zasadą mnożenia liczba sposobów utworzenia permutacji wynosi P ( n , r ) = C ( n , r ) x r !.
Korzystanie ze wzoru na permutacje P ( n , r ) = n !/( n - r )!, które można podstawić do powyższego wzoru:
n !/( n - r )! = C ( n , r ) r !.
Teraz rozwiąż to, liczba kombinacji, C ( n , r ) i zobacz, że C ( n , r ) = n !/[ r !( n - r )!].
Jak pokazano, odrobina myśli i algebry może zajść daleko. Inne wzory w prawdopodobieństwie i statystyce mogą być również wyprowadzone z pewnym ostrożnym zastosowaniem definicji.