Czym jest nierówność Markowa?

Nierówność Markowa wyznacza górną granicę prawdopodobieństwa odchylenia zmiennej losowej od wartości oczekiwanej.

C.K.Taylor

Nierówność Markowa jest pomocnym wynikiem w prawdopodobieństwie, który daje informacje o rozkład prawdopodobieństwa . Godnym uwagi aspektem jest to, że nierówność dotyczy każdego rozkładu o wartościach dodatnich, bez względu na inne jego cechy. Nierówność Markowa daje górną granicę procentu rozkładu powyżej określonej wartości.

Stwierdzenie nierówności Markowa

Nierówność Markowa mówi, że dla dodatniej zmiennej losowej X i wszelkie pozytywne prawdziwy numer a , prawdopodobieństwo, że X jest większa niż lub równa a jest mniejsza lub równa wartość oczekiwana z X podzielony przez a .

Powyższy opis można przedstawić bardziej zwięźle za pomocą notacji matematycznej. W symbolach zapisujemy nierówność Markowa jako:

P ( X ≥ a ) ≤ ORAZ ( X ) / a

Ilustracja nierówności

Aby zilustrować nierówność, załóżmy, że mamy rozkład z wartościami nieujemnymi (takimi jak a rozkład chi-kwadrat ). Jeśli ta zmienna losowa X ma wartość oczekiwaną 3 przyjrzymy się prawdopodobieństwu dla kilku wartości a .

• Do a = 10 Nierówność Markowa mówi, że P ( X ≥ 10) ≤ 3/10 = 30%. Więc istnieje 30% prawdopodobieństwo, że X jest większa niż 10.
• Do a = 30 Nierówność Markowa mówi, że P ( X ≥ 30) ≤ 3/30 = 10%. Więc istnieje 10% prawdopodobieństwo, że X jest większa niż 30.
• Do a = 3 Nierówność Markowa mówi, że P ( X ≥ 3) ≤ 3/3 = 1. Zdarzenia z prawdopodobieństwem 1 = 100% są pewne. To mówi, że pewna wartość zmiennej losowej jest większa lub równa 3. Nie powinno to być zbyt zaskakujące. Jeśli wszystkie wartości X były mniejsze niż 3, to wartość oczekiwana również byłaby mniejsza niż 3.
• Jako wartość a wzrasta, iloraz ORAZ ( X ) / a będzie coraz mniejszy. Oznacza to, że prawdopodobieństwo jest bardzo małe, że X jest bardzo, bardzo duża. Ponownie, przy oczekiwanej wartości 3, nie spodziewalibyśmy się dużej części rozkładu z bardzo dużymi wartościami.

Wykorzystanie nierówności

Jeśli wiemy więcej o dystrybucji, z którą pracujemy, zwykle możemy poprawić nierówność Markowa. Wartość jego użycia polega na tym, że obowiązuje dla dowolnego rozkładu o wartościach nieujemnych.

Na przykład, jeśli znamy średni wzrost uczniów w szkole podstawowej. Nierówność Markowa mówi nam, że nie więcej niż jedna szósta uczniów może mieć wzrost większy niż sześciokrotność średniego wzrostu.

Innym ważnym zastosowaniem nierówności Markowa jest udowodnienie: Nierówność Czebyszewa . Fakt ten powoduje, że nazwę nierówność Czebyszewa stosuje się również do nierówności Markowa. Zamieszanie w nazewnictwie nierówności wynika również z okoliczności historycznych. Andrey Markov był uczniem Pafnuty'ego Czebyszewa. Praca Czebyszewa zawiera nierówność przypisywaną Markowowi.