Przykłady przedziałów ufności dla średnich

Nauczyciel przy tablicy.

Jamie Grille/Getty Images

Jedną z głównych części statystyki inferencyjnej jest opracowywanie sposobów obliczania przedziały ufności . Przedziały ufności pozwalają nam oszacować populację parametr . Zamiast mówić, że parametr jest równy dokładnej wartości, mówimy, że parametr mieści się w zakresie wartości. Ten zakres wartości jest zazwyczaj wartością szacunkową wraz z marginesem błędu, który dodajemy i odejmujemy od oszacowania.

Do każdego interwału dołączony jest poziom pewności siebie. Poziom ufności jest miarą tego, jak często, na dłuższą metę, metoda użyta do uzyskania naszego przedziału ufności wychwytuje prawdziwy parametr populacji.

Przy poznawaniu statystyk warto zapoznać się z opracowanymi przykładami. Poniżej przyjrzymy się kilku przykładom przedziałów ufności dotyczących średniej populacji. Zobaczymy, że metoda, której używamy do skonstruowania przedziału ufności na temat średniej, zależy od dalszych informacji o naszej populacji. W szczególności podejście, które przyjmujemy, zależy od tego, czy znamy odchylenie standardowe populacji, czy nie.

Zestawienie problemów

Zaczynamy od prostej losowej próbki 25 poszczególnych gatunków traszek i mierzymy ich ogony. Średnia długość ogona naszej próbki wynosi 5 cm.

1. Jeśli wiemy, że 0,2 cm to odchylenie standardowe długości ogonów wszystkich traszek w populacji, to jaki jest 90% przedział ufności dla średniej długości ogonów wszystkich traszek w populacji?
2. Jeśli wiemy, że 0,2 cm to odchylenie standardowe długości ogonów wszystkich traszek w populacji, to jaki jest 95% przedział ufności dla średniej długości ogonów wszystkich traszek w populacji?
3. Jeśli stwierdzimy, że 0,2 cm to odchylenie standardowe długości ogonów traszek w naszej próbce populacji, to jaki jest 90% przedział ufności dla średniej długości ogonów wszystkich traszek w populacji?
4. Jeśli stwierdzimy, że 0,2 cm to odchylenie standardowe długości ogonów traszek w naszej próbce populacji, to jaki jest 95% przedział ufności dla średniej długości ogonów wszystkich traszek w populacji?

Omówienie problemów

Zaczynamy od analizy każdego z tych problemów. W pierwszych dwóch problemach my znać wartość odchylenia standardowego populacji . Różnica między tymi dwoma problemami polega na tym, że poziom ufności jest większy w przypadku #2 niż w przypadku #1.

W dwóch drugich problemach odchylenie standardowe populacji jest nieznane . Dla tych dwóch problemów oszacujemy ten parametr na próbie odchylenie standardowe . Jak widzieliśmy w pierwszych dwóch problemach, tutaj również mamy różne poziomy pewności siebie.

Rozwiązania

Obliczymy rozwiązania dla każdego z powyższych problemów.

1. Ponieważ znamy odchylenie standardowe populacji, użyjemy tabeli z-scores. Wartość z co odpowiada 90% przedziałowi ufności wynosi 1,645. Używając wzór na margines błędu mamy przedział ufności od 5 – 1,645 (0,2/5) do 5 + 1,645 (0,2/5). (Pięć w mianowniku oznacza, że ​​wyjęliśmy pierwiastek kwadratowy z 25). Po wykonaniu arytmetyki mamy przedział ufności dla średniej populacji od 4,934 cm do 5,066 cm.
2. Ponieważ znamy odchylenie standardowe populacji, użyjemy tabeli z-scores. Wartość z co odpowiada 95% przedziałowi ufności wynosi 1,96. Używając wzoru na margines błędu mamy przedział ufności od 5 – 1,96 (0,2/5) do 5 + 1,96 (0,2/5). Po wykonaniu arytmetyki mamy przedział ufności dla średniej populacji od 4,922 cm do 5,078 cm.
3. Tutaj nie znamy odchylenia standardowego populacji, tylko odchylenie standardowe próbki. Dlatego użyjemy tabeli t-scores. Kiedy używamy tabeli t wyniki musimy wiedzieć, ile mamy stopni swobody. W tym przypadku mamy 24 stopnie swobody, czyli o jeden mniej niż próbka o wielkości 25. Wartość t co odpowiada 90% przedziałowi ufności wynosi 1,71. Używając wzoru na margines błędu mamy przedział ufności od 5 – 1,71 (0,2/5) do 5 + 1,71 (0,2/5). Po wykonaniu arytmetyki mamy przedział ufności dla średniej populacji od 4,932 cm do 5,068 cm.
4. Tutaj nie znamy odchylenia standardowego populacji, tylko odchylenie standardowe próbki. Dlatego ponownie użyjemy tabeli t-scores. Istnieją 24 stopnie swobody, czyli o jeden mniej niż wielkość próbki wynosząca 25. Wartość t co odpowiada 95% przedziałowi ufności wynosi 2,06. Używając wzoru na margines błędu mamy przedział ufności od 5 – 2,06 (0,2/5) do 5 + 2,06 (0,2/5). Po wykonaniu arytmetyki mamy przedział ufności dla średniej populacji od 4,912 cm do 5,082 cm.

Omówienie rozwiązań

Porównując te rozwiązania, należy zwrócić uwagę na kilka rzeczy. Po pierwsze, w każdym przypadku wraz ze wzrostem poziomu ufności wzrasta wartość z lub t z którym skończyliśmy. Powodem tego jest to, że aby mieć większą pewność, że rzeczywiście uchwyciliśmy średnią populacji w naszym przedziale ufności, potrzebujemy szerszego przedziału.

Inną cechą, na którą należy zwrócić uwagę, jest to, że dla określonego przedziału ufności te, które używają t są szersze niż te z z . Powodem tego jest to, że t rozkład ma większą zmienność ogonów niż standardowy rozkład normalny.

Kluczem do poprawnego rozwiązania tego typu problemów jest to, że jeśli znamy odchylenie standardowe populacji, używamy tabeli z - wyniki. Jeśli nie znamy odchylenia standardowego populacji, korzystamy z tabeli t wyniki.