Prawdopodobieństwo rzutu dwiema kośćmi
Obrazy Tetra/Getty Images
Jednym z popularnych sposobów badania prawdopodobieństwa jest rzucanie kośćmi. Standardowa kostka ma sześć stron zadrukowanych małymi kropkami o numerach 1, 2, 3, 4, 5 i 6. Jeśli kostka jest sprawiedliwa (a my to zrobimy założyć że wszystkie są), to każdy z tych wyników jest jednakowo prawdopodobny. Ponieważ istnieje sześć możliwych wyników, prawdopodobieństwo uzyskania dowolnej strony kostki wynosi 1/6. Prawdopodobieństwo wyrzucenia 1 wynosi 1/6, prawdopodobieństwo wyrzucenia 2 wynosi 1/6 i tak dalej. Ale co się stanie, jeśli dodamy kolejną kostkę? Jakie są prawdopodobieństwo rzutu dwiema kośćmi?
Prawdopodobieństwo rzutu kostką
Aby poprawnie określić prawdopodobieństwo rzutu kostką, musimy wiedzieć dwie rzeczy:
- Rozmiar przestrzeń próbki lub zbiór łącznych możliwych wyników
- Jak często ma miejsce zdarzenie
W prawdopodobieństwo , zdarzenie jest pewnym podzbiorem przestrzeni próbki. Na przykład, gdy rzuca się tylko jedną kostką, tak jak w powyższym przykładzie, pole próbki jest równe wszystkim wartościom na kostce lub zestawie (1, 2, 3, 4, 5, 6). Ponieważ kostka jest uczciwa, każda liczba w zestawie występuje tylko raz. Innymi słowy, częstotliwość każdej liczby wynosi 1. Aby określić prawdopodobieństwo wyrzucenia jednej z liczb na kostce, dzielimy częstotliwość zdarzeń (1) przez wielkość przestrzeni próbki (6), co daje prawdopodobieństwo z 1/6.
Rzucenie dwiema uczciwymi kośćmi ponad dwukrotnie zwiększa trudność obliczenia prawdopodobieństwa. Dzieje się tak, ponieważ rzut jedną kostką jest niezależny od rzutu drugą. Jeden rzut nie ma wpływu na drugi. W przypadku niezależnych zdarzeń posługujemy się reguła mnożenia . Użycie diagramu drzewa pokazuje, że jest 6 x 6 = 36 możliwych wyników rzutu dwiema kostkami.
Załóżmy, że pierwsza kostka, którą rzucamy, wypada jako 1. Drugim rzutem może być 1, 2, 3, 4, 5 lub 6. Teraz załóżmy, że pierwsza kość to 2. Drugi rzut może 1, 2, 3, 4, 5 lub 6. Znaleźliśmy już 12 potencjalnych wyników i jeszcze nie wyczerpaliśmy wszystkich możliwości pierwszej kości.
Tabela prawdopodobieństwa rzutu dwiema kośćmi
Poniższa tabela przedstawia możliwe wyniki rzutu dwiema kośćmi. Zauważ, że liczba wszystkich możliwych wyników jest równa przestrzeni próbki na pierwszej kości (6) pomnożone o przestrzeń próbki drugiej matrycy (6), która wynosi 36.
| 1 | dwa | 3 | 4 | 5 | 6 | |
| 1 | (jedenaście) | (1, 2) | (1, 3) | (1, 4) | (piętnaście) | (1, 6) |
| dwa | (dwadzieścia jeden) | (2, 2) | (23) | (2, 4) | (2, 5) | (2, 6) |
| 3 | (3, 1) | (3, 2) | (3, 3) | (3.4) | (3, 5) | (3, 6) |
| 4 | (4, 1) | (4, 2) | (4, 3) | (4, 4) | (Cztery pięć) | (4, 6) |
| 5 | (5, 1) | (5, 2) | (5, 3) | (5, 4) | (5, 5) | (5, 6) |
| 6 | (6, 1) | (6, 2) | (6, 3) | (6, 4) | (6, 5) | (6, 6) |
Trzy lub więcej kości
Ta sama zasada obowiązuje, jeśli pracujemy nad problemy z udziałem trzech kości . Mnożymy i widzimy, że jest 6 x 6 x 6 = 216 możliwych wyników. Ponieważ pisanie powtarzającego się mnożenia staje się kłopotliwe, możemy użyć wykładników, aby uprościć pracę. Za dwie kości mamy 6dwamożliwe rezultaty. Za trzy kości mamy 63możliwe rezultaty. Ogólnie, jeśli rzucamy n kości, to w sumie jest 6 n możliwe rezultaty.
Przykładowe problemy
Dzięki tej wiedzy możemy rozwiązywać różnego rodzaju problemy prawdopodobieństwa:
1. Rzuca się dwiema sześciościennymi kośćmi. Jakie jest prawdopodobieństwo, że suma dwóch kości wynosi siedem?
Najprostszym sposobem rozwiązania tego problemu jest zapoznanie się z powyższą tabelą. Zauważysz, że w każdym rzędzie znajduje się jeden rzut kostką, gdzie suma dwóch kostek jest równa siedmiu. Ponieważ jest sześć rzędów, istnieje sześć możliwych wyników, w których suma dwóch kości jest równa siedmiu. Liczba wszystkich możliwych wyników pozostaje 36. Ponownie, prawdopodobieństwo znajdujemy, dzieląc częstotliwość zdarzeń (6) przez rozmiar przestrzeni próbki (36), co daje prawdopodobieństwo 1/6.
2. Rzuca się dwiema sześciościennymi kośćmi. Jakie jest prawdopodobieństwo, że Suma z dwóch kości to trzy?
W poprzednim zadaniu mogłeś zauważyć, że komórki, w których suma dwóch kości jest równa siedmiu, tworzą przekątną. To samo dotyczy tutaj, z wyjątkiem tego, że w tym przypadku są tylko dwie komórki, w których suma kostek wynosi trzy. To dlatego, że są tylko dwa sposoby na uzyskanie takiego wyniku. Musisz wyrzucić 1 i 2 lub musisz wyrzucić 2 i 1. Kombinacje dla wyrzucenia sumy siedmiu są znacznie większe (1 i 6, 2 i 5, 3 i 4 itd.). Aby znaleźć prawdopodobieństwo, że suma dwóch kostek wynosi trzy, możemy podzielić częstość zdarzeń (2) przez wielkość przestrzeni próbki (36), co daje prawdopodobieństwo 1/18.
3. Rzuca się dwiema sześciościennymi kośćmi. Jakie jest prawdopodobieństwo, że liczby na kostkach są różne?
Ponownie możemy łatwo rozwiązać ten problem, sprawdzając powyższą tabelę. Zauważysz, że komórki, w których liczby na kostkach są takie same, tworzą przekątną. Jest ich tylko sześć, a po ich skreśleniu mamy pozostałe komórki, w których liczby na kostkach są różne. Możemy wziąć liczbę kombinacji (30) i podzielić ją przez wielkość przestrzeni próbki (36), co daje prawdopodobieństwo 5/6.