Matematyczne właściwości fal

PASIEKA/naukowa biblioteka fotograficzna/Getty Images

Fale fizyczne, lub fale mechaniczne , powstają poprzez drgania ośrodka, czy to struny, skorupy ziemskiej, czy też cząstek gazów i płynów. Fale mają właściwości matematyczne, które można analizować, aby zrozumieć ruch fali. Ten artykuł przedstawia te ogólne właściwości fal, a nie sposób ich zastosowania w określonych sytuacjach w fizyce.

Fale poprzeczne i podłużne

Istnieją dwa rodzaje fal mechanicznych.

A jest taki, że przemieszczenia ośrodka są prostopadłe (poprzeczne) do kierunku przemieszczania się fali wzdłuż ośrodka. Wibracja struny w ruchu okresowym, tak że fale poruszają się wzdłuż niej, jest falą poprzeczną, podobnie jak fale w oceanie.

A fala podłużna jest taki, że przemieszczenia ośrodka odbywają się tam iz powrotem w tym samym kierunku, co sama fala. Przykładem fali podłużnej są fale dźwiękowe, w których cząstki powietrza są popychane w kierunku jazdy.

Chociaż fale omówione w tym artykule będą dotyczyć przemieszczania się w ośrodku, przedstawiona tutaj matematyka może być wykorzystana do analizy właściwości fal niemechanicznych. Na przykład promieniowanie elektromagnetyczne może podróżować przez pustą przestrzeń, ale nadal ma te same właściwości matematyczne, co inne fale. Na przykład Efekt Dopplera dla fal dźwiękowych jest dobrze znana, ale istnieje podobna Efekt Dopplera dla fal świetlnych i opierają się na tych samych zasadach matematycznych.

Co powoduje fale?

1. Fale mogą być postrzegane jako zakłócenie ośrodka wokół stanu równowagi, który zazwyczaj znajduje się w spoczynku. Energia tego zakłócenia jest tym, co powoduje ruch fal. Kałuża wody jest w równowadze, gdy nie ma fal, ale gdy tylko zostanie w nią wrzucony kamień, równowaga cząstek zostaje zakłócona i zaczyna się ruch fal.
2. Zakłócenie przemieszczania się fali lub propaguje , z określoną prędkością, zwaną prędkość fali ( w ).
3. Fale przenoszą energię, ale nie ma znaczenia. Samo medium nie podróżuje; poszczególne cząstki przechodzą ruch tam i z powrotem lub w górę iw dół wokół pozycji równowagi.

Funkcja fali

Aby matematycznie opisać ruch falowy, odwołujemy się do pojęcia a funkcja falowa , który opisuje położenie cząstki w medium w dowolnym momencie. Najbardziej podstawową funkcją falową jest fala sinusoidalna lub sinusoidalna, która jest a fala okresowa (tj. fala o powtarzalnym ruchu).

Należy zauważyć, że funkcja falowa nie przedstawia fali fizycznej, ale raczej jest wykresem przemieszczenia względem położenia równowagi. Może to być myląca koncepcja, ale użyteczną rzeczą jest to, że możemy użyć fali sinusoidalnej do zobrazowania większości okresowych ruchów, takich jak poruszanie się po okręgu lub kołysanie wahadłem, które niekoniecznie przypominają falę, gdy oglądasz rzeczywisty ruch.

Właściwości funkcji falowej

prędkość fali( w ) - prędkość propagacji fali amplituda( A ) - maksymalna wielkość przesunięcia od równowagi, w jednostkach SI w metrach. Ogólnie rzecz biorąc, jest to odległość od punktu środkowego równowagi fali do jej maksymalnego przemieszczenia lub jest to połowa całkowitego przemieszczenia fali. Kropka( T ) - to czas jednego cyklu fali (dwa impulsy lub od szczytu do szczytu lub od doliny do doliny), w sekundach w układzie SI (chociaż może to być określane jako „sekunda na cykl”). częstotliwość( f ) - liczba cykli w jednostce czasu. Jednostką częstotliwości w układzie SI jest herc (Hz) i

1 Hz = 1 cykl/s = 1 s^-1

częstotliwość kątowa( oh ) - to 2 Liczba Pi razy częstotliwość, w jednostkach SI w radianach na sekundę.
• długość fali ( ja ) - odległość między dowolnymi dwoma punktami w odpowiadających sobie pozycjach przy kolejnych powtórzeniach fali, czyli (na przykład) od jednego grzbietu lub doliny do następnego, w Jednostki SI metrów.
numer fali( k ) - zwany także stała propagacji , ta użyteczna wielkość jest zdefiniowana jako 2 Liczba Pi podzielone przez długość fali, więc jednostkami SI są radiany na metr. puls- jedna połowa długości fali, od tyłu równowagi

Niektóre przydatne równania w definiowaniu powyższych wielkości to:

w = ja / T = ja f

oh = 2 pf = 2 Liczba Pi / T

T = 1 / f = 2 Liczba Pi / oh

k = 2 Liczba Pi / oh

oh = vk

Pionowe położenie punktu na fali, Tak , można znaleźć w funkcji pozycji poziomej, x i godzina, t , kiedy na to spojrzymy. Dziękujemy życzliwym matematykom za wykonanie tej pracy dla nas i otrzymujemy następujące przydatne równania do opisania ruchu falowego:

Tak ( x, t ) = A bez oh ( t - x / w ) = A bez 2 pf ( t - x / w )

Tak ( x, t ) = A bez 2 Liczba Pi ( t / T - x / w )

T( x, t ) = A bez ( o tak - kx )

Równanie fali

Ostatnią cechą funkcji falowej jest to, że zastosowanie rachunek różniczkowy wziąć drugą pochodną daje równanie falowe , który jest intrygującym i czasem przydatnym produktem (za który jeszcze raz podziękujemy matematykom i zaakceptujemy bez udowadniania):

d ^dwa Tak / dx ^dwa= (1 / w ^dwa) d ^dwa Tak / dt ^dwa

Druga pochodna Tak z szacunkiem do x jest równoważna drugiej pochodnej Tak z szacunkiem do t podzielone przez kwadrat prędkości fali. Kluczową użytecznością tego równania jest to, że ilekroć to nastąpi, wiemy, że funkcja Tak działa jak fala z prędkością fali w i dlatego, sytuację można opisać za pomocą funkcji falowej .