Jak określić geometrię okręgu

Oblicz promień, długość łuku, obszary sektorów i inne.

D. Russell

Okrąg to dwuwymiarowy kształt utworzony przez narysowanie krzywej, która znajduje się w tej samej odległości dookoła od środka. Okręgi mają wiele komponentów, w tym obwód, promień, średnicę, długość i stopnie łuku, obszary sektorów, kąty wpisane, cięciwy, styczne i półokręgi.

Tylko kilka z tych pomiarów obejmuje linie proste, więc musisz znać zarówno formuły, jak i jednostki miary wymagane dla każdego z nich. W matematyce pojęcie kół będzie pojawiało się raz po raz od przedszkola do college'u rachunek różniczkowy , ale gdy już zrozumiesz, jak mierzyć różne części koła, będziesz w stanie kompetentnie mówić o tym podstawowym kształcie geometrycznym lub szybko odrabiać zadanie domowe.

01 z 07

Promień i średnica

Promień to linia biegnąca od środka okręgu do dowolnej części okręgu. Jest to prawdopodobnie najprostsza koncepcja związana z pomiarem okręgów, ale prawdopodobnie najważniejsza.

Natomiast średnica koła to najdłuższa odległość od jednej krawędzi koła do przeciwległej krawędzi. Średnica to specjalny rodzaj cięciwy, czyli linii łączącej dowolne dwa punkty koła. Średnica jest dwa razy większa niż promień, więc jeśli promień wynosi na przykład 2 cale, średnica będzie wynosić 4 cale. Jeśli promień wynosi 22,5 centymetra, średnica wyniesie 45 centymetrów. Pomyśl o średnicy tak, jakbyś wycinał idealnie okrągły placek w samym środku, tak aby mieć dwie równe połówki ciasta. Linia, w której przetniesz ciasto na dwie części, będzie miała średnicę.

02 z 07

Obwód

Obwód koła to jego obwód lub odległość wokół niego. Jest oznaczony przez C we wzorach matematycznych i ma jednostki odległości, takie jak milimetry, centymetry, metry lub cale. Obwód koła to zmierzona całkowita długość wokół koła, która mierzona w stopniach jest równa 360°. „°” to matematyczny symbol stopni.

Aby zmierzyć obwód koła, musisz użyć „Pi”, stałej matematycznej odkrytej przez greckiego matematyka Archimedesa . Pi, zwykle oznaczane grecką literą π, jest stosunkiem obwodu koła do jego średnicy, czyli około 3,14. Pi to stały stosunek używany do obliczania obwodu koła

Możesz obliczyć obwód dowolnego okręgu, jeśli znasz promień lub średnicę. Formuły to:

C = πd
C = 2πr

gdzie d to średnica koła, r to jego promień, a π to pi. Więc jeśli zmierzysz średnicę koła na 8,5 cm, otrzymasz:

C = πd
C = 3,14 * (8,5 cm)
C = 26,69 cm, które należy zaokrąglić do 26,7 cm

Lub, jeśli chcesz poznać obwód doniczki o promieniu 4,5 cala, miałbyś:

C = 2πr
C = 2 * 3,14 * (4,5 cala)
C = 28,26 cala, co zaokrągla się do 28 cali

03 z 07

Powierzchnia

Powierzchnia koła to całkowita powierzchnia ograniczona przez obwód. Pomyśl o obszarze koła tak, jakbyś rysował obwód i wypełniał obszar wewnątrz koła farbą lub kredkami. Wzory na pole koła to:

A = π * r^2

W tym wzorze „A” oznacza powierzchnię, „r” oznacza promień, π to pi, czyli 3,14. '*' to symbol używany dla czasów lub mnożenia.

A = π(1/2 * d)^2

W tym wzorze „A” oznacza powierzchnię, „d” oznacza średnicę, π to pi, czyli 3,14. Tak więc, jeśli twoja średnica wynosi 8,5 centymetra, jak w przykładzie na poprzednim slajdzie, będziesz miał:

A = π(1/2 d)^2 (Powierzchnia równa się pi razy połowa średnicy do kwadratu.)

A = π * (1/2 * 8,5)^2

A = 3,14 * (4,25)^2

A = 3,14 * 18,0625

A = 56,71625, co zaokrągla się do 56,72

A = 56,72 centymetrów kwadratowych

Możesz również obliczyć powierzchnię koła, jeśli znasz promień. Tak więc, jeśli masz promień 4,5 cala:

A = π * 4,5^2

A = 3,14 * (4,5 * 4,5)

A = 3,14 * 20,25

A = 63,585 (co zaokrągla się do 63,56)

A = 63,56 centymetrów kwadratowych

04 z 07

Długość łuku

Łuk koła to po prostu odległość na obwodzie łuku. Tak więc, jeśli masz idealnie okrągły kawałek szarlotki i pokroisz kawałek ciasta, długość łuku będzie odległością wokół zewnętrznej krawędzi twojego kawałka.

Możesz szybko zmierzyć długość łuku za pomocą sznurka. Jeśli owiniesz sznurek wokół zewnętrznej krawędzi plasterka, długość łuku będzie długością tego sznurka. Na potrzeby obliczeń na następnym slajdzie załóżmy, że długość łuku kawałka ciasta wynosi 3 cale.

05 z 07

Kąt sektora

Kąt sektorowy to kąt zależny od dwóch punktów na okręgu. Innymi słowy, kąt sektorowy to kąt utworzony, gdy dwa promienie okręgu zbiegają się. Korzystając z przykładu z kołem, kąt sektora jest kątem utworzonym, gdy dwie krawędzie kawałka szarlotki łączą się, tworząc punkt. Wzór na znalezienie kąta sektora to:

Kąt sektora = Długość łuku * 360 stopni / 2π * Promień

360 reprezentuje 360 ​​stopni w kole. Używając łuku o długości 3 cali od poprzedniego slajdu i promienia 4,5 cala od slajdu nr 2, otrzymasz:

Kąt sektora = 3 cale x 360 stopni / 2 (3,14) * 4,5 cala

Kąt sektora = 960 / 28,26

Kąt sektora = 33,97 stopnia, co zaokrągla się do 34 stopni (z całkowitej liczby 360 stopni)

06 z 07

Obszary sektorowe

Wycinek koła jest jak klin lub kawałek ciasta. Z technicznego punktu widzenia sektor jest częścią okręgu otoczonego dwoma promieniami i łączącym łukiem, notatki study.com . Wzór na znalezienie obszaru sektora to:

A = (Kąt sektora / 360) * (π * r^2)

Korzystając z przykładu ze slajdu nr 5, promień wynosi 4,5 cala, a kąt sektora wynosi 34 stopnie, otrzymalibyśmy:

A = 34 / 360 * (3,14 * 4,5^2)

A = 0,094 * (63,585)

Zaokrąglanie do najbliższej dziesiątej części daje:

A = 0,1 * (63,6)

A = 6,36 cala kwadratowego

Po ponownym zaokrągleniu do najbliższej dziesiątej części odpowiedź brzmi:

Powierzchnia sektora to 6,4 cala kwadratowego.

07 z 07

Wpisane kąty

Kąt wpisany to kąt utworzony przez dwa cięciwy w okręgu, które mają wspólny punkt końcowy. Wzór na znalezienie kąta wpisanego to:

Kąt wpisany = 1/2 * Łuk przechwycony

Przechwycony łuk to odległość krzywej utworzonej między dwoma punktami, w których cięciwy uderzają w okrąg. Matematyka podaje ten przykład znajdowania kąta wpisanego:

Kąt wpisany w półkole jest kątem prostym. (To się nazywa Tales twierdzenie, które nosi imię starożytnego greckiego filozofa Talesa z Miletu. Był mentorem słynnego greckiego matematyka Pitagorasa, który opracował wiele twierdzeń matematycznych, w tym kilka wymienionych w tym artykule.)

Twierdzenie Thalesa mówi, że jeśli A, B i C są różnymi punktami na okręgu, w którym prosta AC jest średnicą, to kąt ∠ABC jest kątem prostym. Ponieważ AC jest średnicą, miarą przechwyconego łuku jest 180 stopni — czyli połowa sumy 360 stopni w okręgu. Więc:

Wpisany kąt = 1/2*180 stopni

Zatem:

Kąt wpisany = 90 stopni.