Historia algebry

Artykuł z Encyklopedii 1911

Peopleimages/Getty Images

Różni pisarze podawali różne derywacje słowa „algebra”, które ma pochodzenie arabskie. Pierwsza wzmianka o tym słowie znajduje się w tytule dzieła Mahommeda ben Musa al-Khwarizmi (Hovarezmi), który rozkwitał na początku IX wieku. Pełny tytuł to ilm al-jebr wa'l-muqabala, która zawiera idee restytucji i porównania, lub sprzeciwu i porównania, lub rozwiązania i równania, algebra pochodzi od czasownika Dżabara, zjednoczyć się ponownie i konfrontacja, z kawałek zrównać. (Korzeń Dżabara spotyka się również w słowie z algebry, co oznacza „odstawiciela kości” i jest nadal w powszechnym użyciu w Hiszpanii). To samo wyprowadzenie podaje Lucas Paciolus ( Luca Pacioli ), który odwzorowuje frazę w formie transliterowanej algebra i almucabala, i przypisuje wynalazek tej sztuki Arabom.

Inni pisarze wywodzą to słowo z arabskiej cząstki do (przedimek określony) i gerber, czyli „człowiek”. Ponieważ jednak Geber był nazwiskiem znanego mauretańskiego filozofa, który rozkwitał w XI lub XII wieku, przypuszcza się, że był on twórcą algebry, która od tego czasu utrwaliła jego imię. Dowody Petera Ramusa (1515-1572) w tej kwestii są interesujące, ale nie daje on żadnego autorytetu dla swoich pojedynczych stwierdzeń. W przedmowie do jego Dwie księgi arytmetyki i tyle samo ksiąg algebry (1560) mówi: „Nazwa Algebra jest syryjska, oznacza sztukę lub doktrynę doskonałego człowieka. Bo Geber, w języku syryjskim, to imię stosowane do mężczyzn, a czasem jest to wyraz honoru, jako mistrza lub lekarza wśród nas. Pewien uczony matematyk wysłał swoją algebrę napisaną w języku syryjskim Aleksandrowi Wielkiemu i nazwał ją almukabala, to jest księga mrocznych lub tajemniczych rzeczy, którą inni nazwaliby raczej doktryną algebry. Do dziś ta sama księga cieszy się wielkim uznaniem wśród uczonych narodów wschodnich, a przez kultywujących tę sztukę Hindusów nazywa się ją Aljabra oraz świt; choć nazwisko samego autora nie jest znane”. Niepewny autorytet tych stwierdzeń i wiarygodność poprzedniego wyjaśnienia spowodowały, że filolodzy zaakceptowali wyprowadzenie z do oraz Dżabara. Robert Recorde w jego Osełka Witte (1557) używa wariantu glony, podczas gdy John Dee (1527-1608) potwierdza, że algiebar, i nie algebra, jest poprawną formą i odwołuje się do autorytetu arabskiej Awicenny.

Chociaż termin „algebra” jest obecnie w powszechnym użyciu, w okresie renesansu włoscy matematycy używali różnych innych określeń. W ten sposób Paciolus nazywa to l'Arte Magiore; Ditta dal vulgar la Regula de la Cosa over Alghebra e Almucabala. Imię sztuka główna, większa sztuka, ma na celu odróżnienie jej od drobne sztuki, sztuka mniejsza, termin, który zastosował do współczesnej arytmetyki. Jego drugi wariant, regulacja rzeczy, reguła rzeczy lub nieznanej ilości wydaje się być powszechnie używana we Włoszech, a słowo rzeczy był zachowany przez kilka wieków w formach coss lub algebra, cossic lub algebraic, cossist lub algebraist itd. Inni włoscy pisarze nazwali to Praworządność i spis ludności reguła rzeczy i produktu lub pierwiastek i kwadrat. Zasadą leżącą u podstaw tego wyrażenia jest prawdopodobnie fakt, że mierzyło ono granice ich osiągnięć w algebrze, ponieważ nie byli w stanie rozwiązać równań wyższego stopnia niż kwadratowe lub kwadratowe.

Franciscus Vieta (Francois Viete) nazwał go Sztuczna arytmetyka, ze względu na gatunki, których dotyczyły ilości, które symbolicznie przedstawiał różnymi literami alfabetu. Sir Isaac Newton wprowadził termin Universal Arithmetic, ponieważ dotyczy on doktryny operacji, które nie dotyczą liczb, ale ogólnych symboli.

Pomimo tych i innych idiosynkratycznych określeń, matematycy europejscy trzymali się starszej nazwy, pod którą przedmiot jest obecnie powszechnie znany.

Ciąg dalszy na stronie drugiej.

Ten dokument jest częścią artykułu o algebrze z wydania encyklopedii z 1911 roku, która nie jest chroniona prawami autorskimi tutaj w USA. Artykuł jest w domenie publicznej i możesz kopiować, pobierać, drukować i rozpowszechniać tę pracę według własnego uznania .

Dołożono wszelkich starań, aby przedstawić ten tekst dokładnie i czysto, ale nie udzielamy żadnych gwarancji na błędy. Ani Melissa Snell, ani About nie mogą ponosić odpowiedzialności za jakiekolwiek problemy, jakie napotkasz z wersją tekstową lub jakąkolwiek elektroniczną formą tego dokumentu.

Trudno jest jednoznacznie przypisać wynalezienie jakiejkolwiek sztuki lub nauki do konkretnego wieku lub rasy. Nieliczne fragmentaryczne zapisy, które przyszły do ​​nas z przeszłych cywilizacji, nie mogą być traktowane jako reprezentujące całość ich wiedzy, a pominięcie nauki lub sztuki niekoniecznie oznacza, że ​​nauka lub sztuka były nieznane. Dawniej przypisywanie wynalezienia algebry Grekom było zwyczajem, ale od czasu rozszyfrowania papirusu Rhinda przez Eisenlohra pogląd ten uległ zmianie, ponieważ w tej pracy są wyraźne ślady analizy algebraicznej. Konkretny problem — sterta (hau) i jej siódma część daje 19 — jest rozwiązany tak, jak powinniśmy teraz rozwiązać proste równanie; ale Ahmes zmienia swoje metody w innych podobnych problemach. Odkrycie to przenosi wynalazek algebry z powrotem do około 1700 r. p.n.e., jeśli nie wcześniej.

Jest prawdopodobne, że algebra Egipcjan miała bardzo szczątkowy charakter, w przeciwnym razie należałoby się spodziewać jej śladów w pracach greckich eometrów. z których pierwszy był Tales z Miletu (640-546 p.n.e.). Niezależnie od mnogości pisarzy i liczby pism, wszelkie próby wydobycia analizy algebraicznej z ich twierdzeń i problemów geometrycznych były bezowocne i ogólnie przyznaje się, że ich analiza była geometryczna i miała niewielkie lub żadne powinowactwo z algebrą. Pierwszym zachowanym dziełem, które zbliża się do traktatu o algebrze, jest Diofantus (q.v.), matematyk aleksandryjski, który rozkwitł około 350 r. Po Chr. pierwszych sześciu ksiąg i fragment drugiej o liczbach wielokątnych autorstwa Ksylandera z Augsburga (1575) oraz przekładów łacińskich i greckich Gaspara Bachet de Merizac (1621-1670). Ukazały się inne wydania, z których warto wspomnieć Pierre'a Fermata (1670), T.L. Heatha (1885) i P. Tannery (1893-1895). W przedmowie do tego dzieła, poświęconego jednemu Dionizjuszowi, Diofant wyjaśnia swój zapis, nazywając kwadrat, sześcian i czwartą potęgę, dynamis, cubus, dynamodinimus i tak dalej, zgodnie z sumą w indeksach. Nieznane, które on określa arytmetyka, liczbę, aw rozwiązaniach zaznacza ją przez końcowe s; wyjaśnia generowanie potęg, zasady mnożenia i dzielenia wielkości prostych, ale nie zajmuje się dodawaniem, odejmowaniem, mnożeniem i dzieleniem wielkości złożonych. Następnie przechodzi do omówienia różnych sztuczek służących uproszczeniu równań, podając metody, które są nadal w powszechnym użyciu. W treści pracy wykazuje znaczną pomysłowość w sprowadzaniu swoich problemów do prostych równań, które dopuszczają albo rozwiązanie bezpośrednie, albo należą do klasy znanej jako równania nieokreślone. Tę ostatnią klasę omawiał tak wytrwale, że często są one znane jako problemy diofantyczne, a metody ich rozwiązywania jako analiza diofantyczna (patrz Równanie, Nieokreślone). Trudno uwierzyć, że ta praca Diofantusa powstała spontanicznie w okresie ogólnego stagnacja.Jest więcej niż prawdopodobne, że był dłużnikiem wcześniejszych pisarzy, o których nie wspomina, a których dzieła są teraz stracone; niemniej jednak, gdyby nie ta praca, powinniśmy przyjąć, że algebra była prawie, jeśli nie całkowicie, nieznana Grekom.

Rzymianie, którzy zastąpili Greków jako główne cywilizowane mocarstwo w Europie, nie przywiązywali wagi do swoich literackich i naukowych skarbów; matematyka była prawie całkowicie zaniedbana; a poza kilkoma ulepszeniami w obliczeniach arytmetycznych nie ma żadnych istotnych postępów, które można by odnotować.

W chronologicznym rozwoju naszego przedmiotu musimy teraz zwrócić się ku Orientowi. Badanie pism matematyków indyjskich wykazało fundamentalną różnicę między umysłem greckim i indyjskim, przy czym pierwszy z nich jest wybitnie geometryczny i spekulatywny, drugi arytmetyczny i głównie praktyczny. Odkrywamy, że geometria była zaniedbywana, chyba że służyła astronomii; trygonometria była zaawansowana, a algebra poprawiła się daleko poza osiągnięcia Diofantusa.

Ciąg dalszy na stronie trzeciej.

Ten dokument jest częścią artykułu o algebrze z wydania encyklopedii z 1911 roku, która nie jest chroniona prawami autorskimi tutaj w USA. Artykuł jest w domenie publicznej i możesz kopiować, pobierać, drukować i rozpowszechniać tę pracę według własnego uznania .

Dołożono wszelkich starań, aby przedstawić ten tekst dokładnie i czysto, ale nie udzielamy żadnych gwarancji na błędy. Ani Melissa Snell, ani About nie mogą ponosić odpowiedzialności za jakiekolwiek problemy, jakie napotkasz z wersją tekstową lub jakąkolwiek elektroniczną formą tego dokumentu.

Najwcześniejszym indyjskim matematykiem, o którym mamy pewną wiedzę, jest Aryabhatta, który rozkwitł na początku VI wieku naszej ery. Sława tego astronoma i matematyka opiera się na jego pracy, Arjabhattiyam, trzeci rozdział poświęcony jest matematyce. Ganessa, wybitny astronom, matematyk i scholiast Bhaskary, cytuje tę pracę i odrębnie wspomina o cuttaca („pulweryzator”), urządzenie do rozwiązywania nieokreślonych równań. Henry Thomas Colebrooke, jeden z najwcześniejszych współczesnych badaczy nauki hinduskiej, zakłada, że ​​traktat Aryabhatta rozszerzył się na równania kwadratowe, równania nieokreślone pierwszego stopnia i prawdopodobnie drugiego. Dzieło astronomiczne, zwane Surya-siddhanta („wiedza o słońcu”), o niepewnym autorstwie i prawdopodobnie pochodząca z IV lub V wieku, została uznana przez Hindusów za bardzo zasłużoną, plasując ją dopiero na drugim miejscu po dziele Brahmagupty, który rozkwitł około sto lat później.Jest to bardzo interesujące dla badacza historii, ponieważ wykazuje wpływ nauki greckiej na matematykę indyjską w okresie przed Aryabhattą. Po około stuletniej przerwie, podczas której matematyka osiągnęła swój najwyższy poziom, rozkwitła Brahmagupta (ur. 598 r. n.e.), której dzieło zatytułowane Brahma-sphuta-siddhanta („Zrewidowany system Brahmy”) zawiera kilka rozdziałów poświęconych matematyce. Spośród innych indyjskich pisarzy można wspomnieć o Cridharze, autorze Ganita-sara („Kwintesencja kalkulacji”) i Padmanabha, autorze algebry.

Wydaje się, że okres matematycznej stagnacji opanował umysł Indii na kilka stuleci, gdyż prace następnego autora w dowolnym momencie niewiele wyprzedzają Brahmaguptę. Odnosimy się do Bhaskary Acaryi, którego twórczość Siddhanta-ciromani („Diadem systemu anastronomicznego”), napisany w 1150 r., zawiera dwa ważne rozdziały, Lilavati („piękna [nauka lub sztuka]”) i Viga-ganita („wyodrębnianie korzeni”), które są poświęcone arytmetyce i algebra.

Angielskie tłumaczenia rozdziałów matematycznych brahma-siddhanta oraz Siddhanta-ciromani przez HT Colebrooke (1817) i Surya-siddhanta E. Burgessa, z adnotacjami W.D. Whitneya (1860), można uzyskać szczegółowe informacje.

Kwestia, czy Grecy zapożyczyli swoją algebrę od Hindusów, czy odwrotnie, była przedmiotem wielu dyskusji. Nie ma wątpliwości, że między Grecją a Indiami istniał stały ruch i jest więcej niż prawdopodobne, że wymianie produktów towarzyszyć będzie transfer idei. Moritz Cantor podejrzewa wpływ metod diofantycznych, zwłaszcza w hinduskich rozwiązaniach nieokreślonych równań, gdzie pewne terminy techniczne mają prawdopodobnie greckie pochodzenie. Jakkolwiek by to nie było, pewne jest, że hinduscy algebraiści znacznie wyprzedzili Diofanta. Braki w greckiej symbolice zostały częściowo uzupełnione; odejmowanie oznaczano przez umieszczenie kropki nad odliczeniem; mnożenie, umieszczając bha (skrót od bhavita, „produkt”) po faktomie; podział, poprzez umieszczenie dzielnika pod dywidendą; i pierwiastek kwadratowy, wstawiając ka (skrót od karana, irracjonalny) przed ilością. Nieznane nazywano yavattavat, a jeśli było ich kilka, pierwszy przyjmował tę nazwę, a pozostałe określano nazwami kolorów; na przykład x oznaczono przez ya, a y przez ka (od ciężarówka, czarny).

Ciąg dalszy na stronie czwartej.

Ten dokument jest częścią artykułu o algebrze z wydania encyklopedii z 1911 roku, która nie jest chroniona prawami autorskimi tutaj w USA. Artykuł jest w domenie publicznej i możesz kopiować, pobierać, drukować i rozpowszechniać tę pracę według własnego uznania .

Dołożono wszelkich starań, aby przedstawić ten tekst dokładnie i czysto, ale nie udzielamy żadnych gwarancji na błędy. Ani Melissa Snell, ani About nie mogą ponosić odpowiedzialności za jakiekolwiek problemy, jakie napotkasz z wersją tekstową lub jakąkolwiek elektroniczną formą tego dokumentu.

Godnym uwagi ulepszeniem idei Diofanta jest fakt, że Hindusi uznali istnienie dwóch pierwiastków równania kwadratowego, ale pierwiastki ujemne uznano za nieodpowiednie, ponieważ nie można było dla nich znaleźć interpretacji. Przypuszcza się również, że antycypowali oni odkrycia rozwiązań wyższych równań. Wielkie postępy poczyniono w badaniu równań nieokreślonych, gałęzi analizy, w której celował Diophantus. Ale podczas gdy Diophantus dążył do uzyskania jednego rozwiązania, Hindusi dążyli do ogólnej metody, za pomocą której można by rozwiązać każdy nieokreślony problem. W tym osiągnęli całkowity sukces, ponieważ uzyskali ogólne rozwiązania równań ax(+ lub -)by=c, xy=ax+by+c (odkryte przez Leonharda Eulera) i cy2=ax2+b. Szczególny przypadek ostatniego równania, a mianowicie y2=ax2+1, mocno obciążył zasoby współczesnych algebraistów. Zaproponował ją Pierre de Fermat Bernhardowi Frenicle de Bessy, aw 1657 r. wszystkim matematykom.John Wallis i Lord Brounker wspólnie uzyskali żmudne rozwiązanie, które zostało opublikowane w 1658, a następnie w 1668 przez Johna Pella w jego Algebrze. Rozwiązanie podał również Fermat w swojej relacji. Chociaż Pell nie miał nic wspólnego z rozwiązaniem, potomność nazwała równanie równaniem lub problemem Pella, podczas gdy bardziej słusznie powinno to być problemem hinduskim, w uznaniu matematycznych osiągnięć braminów.

Hermann Hankel zwrócił uwagę na gotowość, z jaką Hindusi przechodzili od liczby do wielkości i na odwrót. Chociaż to przejście od nieciągłego do ciągłego nie jest prawdziwie naukowe, to jednak materialnie przyspieszyło rozwój algebry, a Hankel twierdzi, że jeśli zdefiniujemy algebrę jako zastosowanie operacji arytmetycznych zarówno do liczb lub wielkości wymiernych, jak i niewymiernych, to bramini są prawdziwi wynalazcy algebry.

Integracji rozproszonych plemion Arabii w VII wieku przez poruszającą propagandę religijną Mahometa towarzyszył błyskawiczny wzrost mocy intelektualnych nieznanej dotąd rasy. Arabowie stali się kustoszami nauki indyjskiej i greckiej, podczas gdy Europę rozdzierały wewnętrzne waśnie. Pod rządami Abbasydów Bagdad stał się centrum myśli naukowej; na ich dwór gromadzili się lekarze i astronomowie z Indii i Syrii; Przetłumaczono rękopisy greckie i indyjskie (dzieło rozpoczęte przez kalifa Mamona (813-833) i umiejętnie kontynuowane przez jego następców); a około wieku Arabowie weszli w posiadanie ogromnych zasobów wiedzy greckiej i indyjskiej. Elementy Euklidesa zostały po raz pierwszy przetłumaczone za panowania Harun-al-Rashida (786-809), a następnie poprawione na polecenie Mamuna. Przekłady te uważano jednak za niedoskonałe i dopiero Tobitowi ben Korra (836-901) pozostało sporządzenie zadowalającego wydania. Ptolemeusza Almagest, przetłumaczono również dzieła Apoloniusza, Archimedesa, Diofantusa i fragmenty Brahmasiddhanty.Pierwszym znanym arabskim matematykiem był Mahommed ben Musa al-Khwarizmi, który rozkwitł za panowania Mamuna. Jego traktat o algebrze i arytmetyce (ostatnia część zachowała się jedynie w postaci przekładu łacińskiego, odkrytego w 1857 r.) nie zawiera niczego, co byłoby nieznane Grekom i Hindusom; wykazuje metody sprzymierzone z tymi z obu ras, z przewagą elementu greckiego. Część poświęcona algebrze ma tytuł al-jeur wa'lmuqabala, a arytmetyka zaczyna się od „Spoken has Algoritmi”, nazwa Khwarizmi lub Hovarezmi przeszła w słowo Algoritmi, które zostało następnie przekształcone w bardziej nowoczesne słowa algorytm i algorytm, oznaczające metodę obliczania.

Ciąg dalszy na stronie piątej.

Ten dokument jest częścią artykułu o algebrze z wydania encyklopedii z 1911 roku, która nie jest chroniona prawami autorskimi tutaj w USA. Artykuł jest w domenie publicznej i możesz kopiować, pobierać, drukować i rozpowszechniać tę pracę według własnego uznania .

Dołożono wszelkich starań, aby przedstawić ten tekst dokładnie i czysto, ale nie udzielamy żadnych gwarancji na błędy. Ani Melissa Snell, ani About nie mogą ponosić odpowiedzialności za jakiekolwiek problemy, jakie napotkasz z wersją tekstową lub jakąkolwiek elektroniczną formą tego dokumentu.

Tobit ben Korra (836-901), urodzony w Harran w Mezopotamii, wybitny językoznawca, matematyk i astronom, oddał rzucające się w oczy tłumaczenie różnych autorów greckich. Jego badanie własności liczb polubownych (q.v.) i problemu trójdzielnego kąta jest ważne. W wyborze studiów Arabowie bardziej przypominali Hindusów niż Greków; ich filozofowie połączyli rozprawy spekulatywne z bardziej postępowymi studiami medycznymi; ich matematycy zaniedbali subtelności przekrojów stożkowych i analizy diofantycznej, a bardziej szczegółowo zastosowali się do udoskonalenia systemu liczebników (patrz LICZBY), arytmetyki i astronomii (zob.). Talenty tej rasy zostały obdarzone astronomią i trygonometrią (q.v.) Fahri des al Karbi, który rozkwitł na początku XI wieku, jest autorem najważniejszej arabskiej pracy z algebry. Podąża za metodami Diofanta; jego praca o nieoznaczonych równaniach nie przypomina metod indyjskich i nie zawiera niczego, czego nie można by uzyskać od Diofanta.Rozwiązywał równania kwadratowe zarówno geometrycznie, jak i algebraicznie, a także równania postaci x2n+axn+b=0; udowodnił także pewne relacje między sumą pierwszych n liczb naturalnych a sumami ich kwadratów i sześcianów.

Równania sześcienne rozwiązywano geometrycznie, wyznaczając przecięcia przekrojów stożkowych. Problem Archimedesa dzielenia kuli przez płaszczyznę na dwa segmenty o określonym stosunku został po raz pierwszy wyrażony jako równanie sześcienne przez Al Mahani, a pierwsze rozwiązanie podał Abu Gafar al Hazin. Określenie strony siedmiokąta foremnego, który można wpisać lub opisać w danym okręgu, zostało zredukowane do bardziej skomplikowanego równania, które po raz pierwszy z powodzeniem rozwiązał Abul Gud. Metoda rozwiązywania równań geometrycznych została znacznie rozwinięta przez Omara Khayyama z Chorassan, który rozkwitł w XI wieku. Autor ten kwestionował możliwość rozwiązywania sześcianów przez czystą algebrę, a bikwadrat przez geometrię. Jego pierwsza teza została odrzucona dopiero w XV wieku, ale druga została odrzucona przez Abula Wetę (940-908), któremu udało się rozwiązać formy x4=a i x4+ax3=b.

Chociaż podstawy geometrycznego rozwiązania równań sześciennych należy przypisać Grekom (Eutocjusz bowiem przypisuje Menaechmusowi dwie metody rozwiązania równania x3=a i x3=2a3), to dalszy rozwój Arabów należy traktować jako jeden ich najważniejszych osiągnięć. Grekom udało się rozwiązać odosobniony przykład; Arabowie osiągnęli ogólne rozwiązanie równań numerycznych.

Dużą uwagę zwrócono na różne style, w jakich arabscy ​​autorzy potraktowali swój temat. Moritz Cantor zasugerował, że kiedyś istniały dwie szkoły, jedna sympatyzująca z Grekami, a druga z Hindusami; i że chociaż pisma tych ostatnich były najpierw badane, szybko odrzucono je na rzecz bardziej przenikliwych metod greckich, tak że wśród późniejszych pisarzy arabskich metody indyjskie zostały praktycznie zapomniane, a ich matematyka nabrała zasadniczo charakteru greckiego.

Zwracając się do Arabów na Zachodzie, znajdujemy tego samego oświeconego ducha; Kordowa, stolica imperium mauretańskiego w Hiszpanii, była tak samo centrum nauki jak Bagdad. Najwcześniejszym znanym matematykiem hiszpańskim jest Al Madshritti (zm. 1007), którego sława opiera się na rozprawie na temat liczb polubownych oraz na szkołach założonych przez jego uczniów w Cordoya, Dama i Granadzie. Gabir ben Allah z Sewilli, powszechnie nazywany Geberem, był sławnym astronomem i najwyraźniej biegły w algebrze, ponieważ przypuszcza się, że słowo „algebra” pochodzi od jego imienia.

Kiedy imperium Maurów zaczęło zanikać, genialne talenty intelektualne, które tak obficie pielęgnowały przez trzy lub cztery stulecia, zostały osłabione, a po tym okresie nie udało im się stworzyć autora porównywalnego z tymi z VII do XI wieku.

Ciąg dalszy na stronie szóstej.

Ten dokument jest częścią artykułu o algebrze z wydania encyklopedii z 1911 roku, która nie jest chroniona prawami autorskimi tutaj w USA. Artykuł jest w domenie publicznej i możesz kopiować, pobierać, drukować i rozpowszechniać tę pracę według własnego uznania .

Dołożono wszelkich starań, aby przedstawić ten tekst dokładnie i czysto, ale nie udzielamy żadnych gwarancji na błędy. Ani Melissa Snell, ani About nie mogą ponosić odpowiedzialności za jakiekolwiek problemy, jakie napotkasz z wersją tekstową lub jakąkolwiek elektroniczną formą tego dokumentu.