Funkcje użytkowe quasi-wklęsłe

Dan Dalton / Getty Images

„Quasiconcave” to pojęcie matematyczne, które ma kilka zastosowań w ekonomii. Aby zrozumieć znaczenie zastosowań tego terminu w ekonomii, warto rozpocząć od krótkiego omówienia pochodzenia i znaczenia tego terminu w matematyce.

Początki terminu

Termin „quasiconcave” został wprowadzony na początku XX wieku w pracach Johna von Neumanna, Wernera Fenchela i Bruno de Finetti, wszystkich wybitnych matematyków zainteresowanych zarówno matematyką teoretyczną, jak i stosowaną. Ich badania w dziedzinach takich jak teoria prawdopodobieństwa , teoria gier i topologia ostatecznie położyły podwaliny pod niezależną dziedzinę badań znaną jako 'uogólniona wypukłość'. Natomiast termin „quasi-wklęsły” ma zastosowanie w wielu dziedzinach, m.in Ekonomia , wywodzi się z dziedziny uogólnionej wypukłości jako pojęcia topologicznego.

Definicja topologii

Wayne State Mathematics Krótkie i czytelne wyjaśnienie topologii profesora Roberta Brunera zaczyna się od zrozumienia, że ​​topologia jest specjalną formą geometria . Tym, co odróżnia topologię od innych badań geometrycznych, jest to, że topologia traktuje figury geometryczne jako zasadniczo ('topologicznie') równoważne, jeśli poprzez ich zginanie, skręcanie i zniekształcanie w inny sposób można je zamienić w drugie.

Brzmi to trochę dziwnie, ale weź pod uwagę, że jeśli weźmiesz koło i zaczniesz zgniatać z czterech kierunków, przy ostrożnym zgięciu możesz stworzyć kwadrat. Zatem kwadrat i okrąg są topologicznie równoważne. Podobnie, jeśli zginasz jeden bok trójkąta, aż utworzysz kolejny róg gdzieś wzdłuż tego boku, z większym zginaniem, pchaniem i ciągnięciem, możesz zamienić trójkąt w kwadrat. Trójkąt i kwadrat są topologicznie równoważne.

Quasiconcave jako właściwość topologiczna

Quasiconcave to właściwość topologiczna obejmująca wklęsłość. Jeśli wykreślisz funkcję matematyczną, a wykres wygląda mniej więcej jak źle wykonana misa z kilkoma wybrzuszeniami, ale nadal ma zagłębienie pośrodku i dwa końce, które przechylają się do góry, jest to funkcja quasi-wklęsła.

Okazuje się, że funkcja wklęsła jest po prostu konkretnym przykładem funkcji quasi-wklęsłej – bez wypukłości. Z perspektywy laika (matematyk ma bardziej rygorystyczny sposób wyrażania tego) funkcja quasi-wklęsła obejmuje wszystkie funkcje wklęsłe, a także wszystkie funkcje, które ogólnie są wklęsłe, ale które mogą mieć sekcje, które są faktycznie wypukłe. Ponownie wyobraź sobie źle wykonaną miskę z kilkoma wybrzuszeniami i występami.

Zastosowania w ekonomii

Jednym ze sposobów matematycznego przedstawienia preferencji konsumentów (a także wielu innych zachowań) jest użycie funkcja użyteczności . Jeśli na przykład konsumenci wolą dobro A od dobra B, funkcja użyteczności U wyraża tę preferencję jako:

U(A)>U(B)

Jeśli wykreślisz tę funkcję dla rzeczywistego zbioru konsumentów i towarów, może się okazać, że wykres wygląda trochę jak miska — a nie linia prosta, pośrodku jest ugięcie. Ten spadek ogólnie reprezentuje awersję konsumentów do ryzyka. Ponownie, w prawdziwym świecie ta niechęć nie jest spójna: wykres preferencji konsumentów wygląda trochę jak niedoskonała miska z wieloma wybojami. Zamiast być wklęsłym, jest on na ogół wklęsły, ale nie idealnie w każdym punkcie wykresu, który może mieć niewielkie odcinki wypukłości.

Innymi słowy, nasz przykładowy wykres preferencji konsumentów (podobnie jak wiele przykładów ze świata rzeczywistego) jest quasi-wklęsły. Mówią każdemu, kto chce dowiedzieć się więcej o zachowaniach konsumentów — na przykład ekonomistom i korporacjom sprzedającym dobra konsumpcyjne — gdzie i jak klienci reagują na zmiany w dużych ilościach lub kosztach.