Czym są pozostałości?
Wykres punktowy z odpowiednim wykresem resztowym poniżej. C.K.Taylor
Regresja liniowa to narzędzie statystyczne, które określa, jak dobrze linia prosta pasuje do zbioruReszty uzyskuje się wykonując odejmowanie. Wszystko, co musimy zrobić, to odjąć przewidywaną wartość Tak od obserwowanej wartości Tak dla konkretnego x . Wynik nazywamy pozostałością.
Formuła dla pozostałości
Wzór na reszty jest prosty:
Pozostała = obserwowana Tak – przewidywany Tak
Należy zauważyć, że przewidywana wartość pochodzi z naszej linii regresji. Obserwowana wartość pochodzi z naszego zbioru danych.
Przykłady
Zilustrujemy użycie tego wzoru na przykładzie. Załóżmy, że otrzymujemy następujący zestaw sparowanych danych:
(1, 2), (2, 3), (3, 7), (3, 6), (4, 9), (5, 9)
Używając oprogramowania możemy zobaczyć, że linia regresji najmniejszych kwadratów to Tak = 2 x . Wykorzystamy to do przewidzenia wartości dla każdej wartości x .
Na przykład, kiedy x = 5 widzimy, że 2(5) = 10. To daje nam punkt wzdłuż naszego linia regresjito ma x współrzędna 5.
Aby obliczyć resztę w punktach x = 5, odejmujemy wartość przewidywaną od wartości obserwowanej. Ponieważ Tak współrzędna naszego punktu danych wynosiła 9, co daje resztkę 9 – 10 = -1.
W poniższej tabeli widzimy, jak obliczyć wszystkie nasze reszty dla tego zestawu danych:
| X | Obserwowane y | Przewidywane tak | Pozostały |
| 1 | dwa | dwa | 0 |
| dwa | 3 | 4 | -1 |
| 3 | 7 | 6 | 1 |
| 3 | 6 | 6 | 0 |
| 4 | 9 | 8 | 1 |
| 5 | 9 | 10 | -1 |
Cechy pozostałości
Teraz, gdy widzieliśmy przykład, należy zwrócić uwagę na kilka cech reszt:
- Reszty są dodatnie dla punktów, które znajdują się powyżej linii regresji.
- Reszty są ujemne dla punktów, które znajdują się poniżej linii regresji.
- Reszty wynoszą zero dla punktów, które leżą dokładnie wzdłuż linii regresji.
- Im większa wartość bezwzględna reszty, tym dalej punkt znajduje się od linii regresji.
- Suma wszystkich reszt powinna wynosić zero. W praktyce czasami suma ta nie jest dokładnie równa zeru. Powodem tej rozbieżności jest kumulacja błędów zaokrągleń.
Zastosowania pozostałości
Istnieje kilka zastosowań pozostałości. Jednym z zastosowań jest pomoc w ustaleniu, czy mamy zestaw danych, który ma ogólny trend liniowy, czy też powinniśmy rozważyć inny model. Powodem tego jest to, że reszty pomagają wzmocnić każdy nieliniowy wzorzec w naszych danych. To, co może być trudne do zauważenia, patrząc na wykres rozrzutu, można łatwiej zaobserwować, badając reszty i odpowiadający im wykres rezydualny.
Innym powodem rozważenia reszt jest sprawdzenie, czy spełnione są warunki wnioskowania dla regresji liniowej. Po weryfikacji trendu liniowego (poprzez sprawdzenie reszt) sprawdzamy również rozkład reszt. Aby móc przeprowadzić wnioskowanie regresji, chcemy, aby reszty dotyczące naszej linii regresji miały rozkład w przybliżeniu normalny. A histogram lub spisek do głosowania reszt pomoże zweryfikować, czy ten warunek został spełniony.